第3章 3.2.2 第2课时 双曲线方程与性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

第2课时　双曲线方程与性质的应用 [教材梳理] 导学 直线与双曲线的位置关系 　直线与椭圆有几种位置关系？ [提示]　三种：相交、相离、相切． 　直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点，则直线与圆(椭圆)相切，那么直线与双曲线相切能用这个方法判断吗？ [提示]　不能． ◎结论形成 1．直线与双曲线位置关系的判定方法 直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：－＝1(a＞0，b＞0)，两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0. 位置关系 公共点 判定方法 相交 2个或1个 m＝0或 相切 1个 m≠0且Δ＝0 相离 0个 m≠0且Δ＜0 2.判断直线与双曲线位置关系的注意事项 (1)联立直线方程与双曲线方程，消元后得到的方程不一定是一元二次方程，也可能是一次方程，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． (2)直线与双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，也可能相交，这时，直线一定与双曲线的渐近线平行． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若直线与双曲线只有一个公共点，则直线与双曲线相切．(　　) (2)过点(0,2)和双曲线－＝1只有一个公共点的直线有2条．(　　) (3)若直线与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有两个交点．(　　) (4)直线与双曲线最多有两个交点．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．1 B.2 C．3 D.4 解析　因为双曲线－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a＞2或a＜－2. 答案　CD 3．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为(　　) A. B.2 C. D.4 解析　由题意，得＝，所以a＝4. 答案　D 4．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　) A．2 B.2 C. D.1 解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x， ∴点F到x－y＝0的距离为＝2. 答案　A 题型一　直线与双曲线的位置关系 一题多变 　已知双曲线x2－y2＝4，讨论直线l：y＝k(x－1)与这条双曲线的交点的个数． [自主解答]　由方程组 消去y，可得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0　(*)， (1)当1－k2＝0，即k＝±1时， 方程(*)为2x＝5， 此时直线与双曲线仅有一个交点． (2)当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2＋4(1－k2)(k2＋4)＝4(4－3k2)． ①若 即－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个交点． ②若 即k＝±时， 直线与双曲线只有一个交点． ③若 即k＞或k＜－时，直线与双曲线没有交点． 由以上讨论可知，当－＜k＜且k≠±1时，直线与双曲线有两个交点；当k＝±1或k＝±时，直线与双曲线只有一个交点；当k＞或k＜－时，直线与双曲线没有交点． [母题变式] 1．(变条件)例1中若直线与双曲线的交点分别在两支上，求k的取值范围． 解析　联立方程组消去y所得的方程为(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，由题意，设方程的两根为x1，x2， 则解得－1＜k＜1. 2．(变条件)例1中若直线与双曲线的右支有两个交点，求k的取值范围. 解析　联立方程组消去y所得的方程为 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0，由题意，设方程的两根为x1，x2， 则 解得－＜k＜－1或1＜k＜. [素养聚焦]　本题通过考查直线与双曲线位置关系的判断和应用，提升学生逻辑推理和数学运算核心素养． [规律方法] 1．研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解． 2．直线与双曲线有三种位置关系： (1)无公共点：此时直线有可能为双曲线的渐近线． (2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点． (3)有两个公共点：可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点． [触类旁通] 1．斜率为2的直线l过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且与双曲线的两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B.(1，) C．(1，) D.(，＋∞) 解析　设双曲线的右焦点为F，如图所示，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，因此该双曲线的离心率e＝＝＝>＝.故选D. 答案　D 题型二　与双曲线相关的弦长和中点弦问题 　经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2－＝1于A，B两点，且M为AB中点． (1)求直线l的方程． (2)求线段AB的