第3章 3.2.1 双曲线及其标准方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

　双曲线 3．2.1　双曲线及其标准方程 学业标准 素养目标 1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点) 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养. [教材梳理] 导学1 双曲线的定义 　我们已经学习过椭圆，椭圆是如何定义的？ [提示]　平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 　如图所示，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点满足怎样的几何条件？ [提示]　曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线． 　思考课本第118页的探究题，思考在双曲线的形成过程中曲线上的点满足的条件与问题2中的点满足的条件相同吗？ [提示]　相同． ◎结论形成 双曲线的定义 (1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． (2)符号表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(0<2a<|F1F2|)． (3)焦点：两个定点F1，F2. (4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|. 导学2 双曲线的标准方程 　推导椭圆标准方程的步骤是什么？ [提示]　建系、设点、列式、化简． 　根据双曲线的几何特征，如何建立坐标系求双曲线的方程？ [提示]　选择x轴(或y轴)经过两个定点F1，F2，并且使坐标原点为线段F1F2的中点，然后按求轨迹方程的直接法步骤，求出双曲线的方程． 　若以两焦点F1，F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线所在直线为y轴建立坐标系，则此时双曲线上任一点M满足的条件是什么？ [提示]　根据双曲线的定义知满足条件||MF1|－|MF2||＝2a(a为定长)． ◎结论形成 双曲线的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 －＝1 (a＞0，b＞0) －＝1 (a＞0，b＞0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0) F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) a，b，c的关系式 a2＋b2＝c2 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在双曲线的标准方程中，a，b，c的关系是a2＝b2＋c2.(　　) (2)双曲线x2－＝1的焦点在y轴上．(　　) (3)已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝5的动点P的轨迹是双曲线．(　　) (4)已知两定点F1(－3,0)，F2(3,0)，满足条件||PF1|－|PF2||＝6的动点P的轨迹是双曲线．(　　) 解析　(1)×.在双曲线的标准方程中，a，b，c满足a2＋b2＝c2. (2)×.根据双曲线的标准方程的特点，双曲线x2－＝1的焦点在x轴上． (3)×.∵|F1F2|＝6，∴|PF1|－|PF2|＝5<|F1F2|，但条件中没有绝对值，故动点P的轨迹是双曲线的一支． (4)×.∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是两条射线(包含端点)． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．在双曲线的标准方程中，若a＝6，b＝8，则其标准方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1或－＝1 答案　D 3．(多选)双曲线2x2－y2＝8的焦点坐标是(　　) A．(0，－2) B.(－2，0) C．(2，0) D.(0,2) 解析　因为双曲线方程可化为－＝1， 所以c2＝4＋8＝12，得c＝2， 所以焦点坐标为(－2，0)，(2，0)． 答案　BC 4．已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________． 解析　设双曲线的两个焦点为F1，F2， |PF1|＝3，所以P在靠近F1的一支上， 因为|PF2|＝|PF1|＋2a＝3＋6＝9， 所以P到另一个焦点的距离为9. 答案　9 题型一　求双曲线和标准方程 一题多解 　根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)a＝4，经过点A； (2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． [自主解答]　(1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9，故所求双曲线的标准方