第3章 3.1.2 第2课时 椭圆方程与性质的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

第2课时　椭圆方程与性质的应用 [教材梳理] 导学1 点与椭圆的位置关系 　前面我们如何判断点与圆的位置关系？ [提示]　利用点到圆心距离和半径的关系． 　可以类比点与圆位置关系的判定，进行点与椭圆位置关系的判定吗？ [提示]　可以． ◎结论形成 点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系： 点P在椭圆上⇔＋＝1； 点P在椭圆内部⇔＋＜1； 点P在椭圆外部⇔＋＞1. 导学2 直线与椭圆的位置关系 　直线与圆有几种位置关系？ [提示]　三种：相交、相离、相切． 　前面我们判断直线与圆的位置关系有几种方法？ [提示]　两种：几何法和代数法． 　类比直线与圆的位置关系，你能给出直线与椭圆有几种位置关系？ [提示]　三种：相交、相离、相切． ◎结论形成 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程，并计算该方程的判别式Δ，若Δ＞0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ＜0，则直线与椭圆相离． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(　　) (2)直线－y＝1被椭圆＋y2＝1截得的弦长为.(　　) (3)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(　　) (4)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(　　) 解析　(1)√.根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大． (2)√.由－y＝1得y＝－1，代入＋y2＝1，解得两交点坐标A(0，－1)，B(2,0)．|AB|＝ ＝. (3)×.因为P(b,0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线． (4)√.直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a,0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆＋＝1的位置关系是相交． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　) A．2　　　　　　　 B.± C．±2 D.±2 解析　由消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8.∴m＝±2. 答案　C 3．(多选)点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的值可以是(　　) A．－ B.－1 C．1 D. 解析　由题意知＋＜1，解得－＜a＜. 答案　BC 4．已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM的周长为________． 解析　因为直线过椭圆的左焦点(－，0)，M(，0)为椭圆的右焦点，所以△ABM的周长为|AB|＋|AM|＋|BM|＝4a＝8. 答案　8 　对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1的位置关系． [自主解答]　联立方程组得 将①代入②得＋(x＋m)2＝1， 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0　③. Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)． 当Δ＞0，即－＜m＜时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得两个公共点的坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m＝±时，方程③有两个相等的实数根，代入①得一个公共点的坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0时，m＜－或m＞，方程③无实根，直线与椭圆相离． [规律方法] 代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤 [触类旁通] 1．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围． 解析　由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx＋)2＝1， 整理得x2＋2kx＋1＝0，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞，所以k的取值范围为∪. 题型二　直线与椭圆的相交弦问题 一题多解　一题多变 　(1)过椭圆4x2＋5y2＝20内一点P(1,1)引一条恰好被P点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是(　　) A．4x＋5y－9＝0 B.5x＋4y－9＝0 C．4x－5y＋1＝0 D.5x－4y－1＝0 (2)已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． [自主解答]　(1)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 4x＋5y＝20,4x＋5y＝20， 两式作差可得 4(x1－x2)(x1＋x2)＝－5(y1－y2)(y1＋y2)， 所以＝－＝－. 因为直线过点P(1,1)，所以这条弦所在直线的方程是y－1＝－(x－1)， 即4x＋5y－9＝0. (2)因为直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 解法一　解