第3章 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 学业标准 素养目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．(重点) 2.掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 3.能根据椭圆的几何性质解决有关问题．(重点、难点) 4.会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 通过研究椭圆的几何性质及运用椭圆的几何性质解决问题，提升数学抽象、逻辑推理及数学运算素养. 第1课时　椭圆的简单几何性质 [教材梳理] 导学 椭圆的范围、对称性、顶点 　已知椭圆方程，讨论椭圆性质时， 椭圆的方程要满足什么形式？ [提示]　椭圆方程需要是标准方程，若不是标准形式要先化成标准形式. 　观察椭圆＋＝1(a＞b＞0)的形状，你能从图上看出横坐标x，纵坐标y的范围吗？ [提示]　由≤1，≤1得－a≤x≤a，－b≤y≤b. 　对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形，长轴、短轴有何不同点与相同点？ [提示]　相同点：两图长轴长与短轴长分别相等； 不同点：长轴与短轴所在位置不同． 　椭圆中心与焦点、对称轴间有哪些关系？ [提示]　椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线． ◎结论形成 1．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 2.离心率的作用 当椭圆的离心率越接近1，椭圆越扁平；当椭圆离心率越接近0，椭圆越接近于圆． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是a.(　　) (2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　) (3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1.(　　) (4)设F为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a＋c(c为椭圆的半焦距)．(　　) 解析　(1)×.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长是2a. (2)×.离心率e越小c就越小，这时b就越接近于a，椭圆就越圆． (3)×.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为＋＝1或者＋＝1. (4)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．椭圆9x2＋25y2＝225上的点P(x，y)的横、纵坐标的范围分别为(　　) A．|x|≤3，|y|≤5 B.|x|≤，|y|≤ C．|x|≤5，|y|≤3 D.|x|≤，|y|≤ 解析　椭圆的标准方程为＋＝1，故|x|≤5，|y|≤3. 答案　C 3．(多选)对于椭圆＋＝1，下面说法正确的是(　　) A．长轴长为2 B.短轴长为3 C．离心率为 D.焦距为2 解析　椭圆的方程为＋＝1，其中a＝＝2，b＝，则c＝＝1，则其长轴长2a＝4.短轴长2b＝2，焦距2c＝2，离心率e＝＝.故选CD. 答案　CD 4．椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　　) A．1 B. C. D.2 解析　∵a2＝m2＋1，b2＝m2， ∴c2＝a2－b2＝m2＋1－m2＝1，c＝1. ∵∠F1AF2＝，∴△F1AF2为等边三角形， ∴a＝2c，即＝2，m＝(m>0)． 答案　C 　求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [自主解答]　由已知得＋＝1(m＞0)， 因为0＜m2＜4m2，所以＞，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝，短半轴长b＝，半焦距c＝，所以椭圆的长轴长2a＝，短轴长2b＝，焦点坐标为，，顶点坐标为，，，离心率e＝＝＝. [规律方法] 研究椭圆几何性质的步骤 一化：将所给方程正确化成椭圆的标准形式． 二判：根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上． 三求：准确求出a，b，进而求出椭圆的其他有关问题． [触类旁通] 1．求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解析　把已知方程化为标准方程为＋＝1， 于是a＝4，b＝3，c＝＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝＝， 两个焦点坐标分别是(－，0)，(，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，