第3章 3.1.1 第2课时 椭圆及其标准方程(二)-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

第2课时　椭圆及其标准方程(二) 题型一　椭圆中的焦点三角形问题 一题多变 　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积． [自主解答]　由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°， 即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.① 由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4， 即|PF2|＝4－|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|＝. ∴S△PF1F2＝|PF1||F1F2|sin 120°＝××2×＝， 即△PF1F2的面积是. [母题变式] (变结论)在例1题设条件不变的情况下，求点P的坐标． 解析　设P(x，y)，由例题可知S△PF1F2＝， 又S△PF1F2＝|F1F2||y|＝×2|y|， 所以|y|＝， 代入椭圆方程＋＝1得x＝±， 又点P在第二象限， 所以点P的坐标为. [素养聚焦]　本题通过考查椭圆中焦点三角形问题，提升学生直观想象和数学运算核心素养． [规律方法] 椭圆定义解题的整体思想 对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2，求三角形的面积时注意整体思想的应用，如已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量． [触类旁通] 1．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________，△F1PF2的面积为________． 解析　由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝， ∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， 在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝2， ∴cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°. ∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin 120°＝2. 答案　120°　2 　(1)点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹． (2)已知P是椭圆＋＝1上一动点，O为坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹方程． [自主解答]　(1)方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8. 因为动圆M与已知圆相内切且过P点， 所以|MC|＋|MP|＝r＝8， 根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8＞6＝|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆． (2)设P(xP，yP)，Q(x，y)， 由中点坐标公式得所以 又点P在椭圆＋＝1上， 所以＋＝1， 即x2＋＝1. [规律方法] 求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法 (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义法求解． (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程． (3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点轨迹的方程． [触类旁通] 2．(1)已知△ABC的周长为20，且顶点坐标为B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0) 解析　因为△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，所以|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是椭圆．因为a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以椭圆的方程是＋＝1(x≠0)． 答案　B (2)设定点A(6,2)，P是椭圆＋＝1上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程． 解析　设M(x，y)，P(x1，y1)． 因为M为线段AP的中点，所以x1＝2x－6，y1＝2y－2，因为＋＝1，所以点M的轨迹方程为＋＝. [知识落实]　椭圆中焦点三角形的问题、与椭圆有关的轨迹问题． [技法强化]　(1)解决椭圆中的焦点三角形问题，常把|PF1|·|PF2|，|PF1|＋|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求解． (2)求动点轨迹化解方程时，注意方程的同解性. [必备知识·基础巩固] 1．平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|MF1|＋|MF2|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当|MF1|＋|M