第3章 3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程(一)-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

　椭圆 3．1.1　椭圆及其标准方程 学业标准 素养目标 1.掌握椭圆的定义并会用椭圆的定义解决问题．(重点) 2．掌握椭圆标准方程及其推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点) 3．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点) 通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 第1课时　椭圆及其标准方程(一) [教材梳理] 导学1 椭圆的定义 　给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，怎样画出椭圆？ [提示]　固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离即可. 　在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？ [提示]　到两个定点的距离和等于常数． 　在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ [提示]　当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在． ◎结论形成 椭圆的定义 1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 2．符号表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|. 3．焦点：两个定点F1，F2. 4．焦距：两焦点间的距离|F1F2|，焦距的一半称为半焦距． 导学2 椭圆的标准方程 　根据椭圆的几何特征，如何建立坐标系求椭圆的方程？ [提示]　以两定点F1，F2所在的直线为x轴，F1F2的中点为坐标原点建立坐标系，然后按照求轨迹方程直接法的步骤求出椭圆方程． 　在推导椭圆的标准方程的过程中，如何处理等式中的两个根式？ [提示]　将其中一个根式移到另一端，两边平方然后再次平方即可． 　建系时，如果把焦点放在y轴上，是不是能得到另外一种形式的椭圆？ [提示]　是． ◎结论形成 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0) 图形 焦点坐标 (－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(　　) (2)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆．(　　) (3)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(　　) (4)平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．(　　) 解析　(1)×.因为2a＝|F1F2|＝8，动点的轨迹是线段F1F2，不是椭圆． (2)×.2a＜|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在． (3)√.符合椭圆的定义． (4)×.平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．椭圆＋＝1的焦距为(　　) A．2　　　　　　　　　 B.3 C．2 D.4 解析　由椭圆方程可知焦距2c＝2×＝4. 答案　D 3．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(　　) A．4 B.5 C．8 D.10 解析　由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案　D 4．已知a＝5，c＝2，焦点在y轴上，则椭圆的标准方程为________________． 解析　由已知得b2＝a2－c2＝21.于是椭圆的标准方程为＋＝1. 答案　＋＝1 　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； (2)椭圆的焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝. [自主解答]　(1)椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9. ∴椭圆的标准方程为＋＝1. ∵c＝，∴a2－b2＝c2＝6.① 又a∶b＝2∶1，得a＝2b，代入①得4b2－b2＝6， ∴b2＝2，∴a2＝8. 又椭圆的焦点在x轴上， ∴椭圆的标准方程为＋＝1. [规律方法] 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； 2定量：是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解. 提醒：在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1m>0，n>0，m