第2章 教考衔接(3) 巧妙转化、化难为易 求解与圆有关的最值、范围问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

一、真题展示

1．(2020·全国Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　)

A．2x－y－1＝0  B.2x＋y－1＝0

C．2x－y＋1＝0  D.2x＋y＋1＝0

2．(2022·新高考全国Ⅰ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．

二、真题溯源

(教科书第103页复习参考题二第20题)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.

(1)求证：直线l恒过定点．

(2)直线l被圆C截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m的值以及最短弦长．

三、解法探究

纵观近几年高考及教科书练习不难看出，对于圆的考查，重点放在与圆相关的最值问题上，主要考查与圆相关的参数范围问题和长度或面积的最值问题．除以选择题、填空题的形式考查外，也有与圆锥曲线相结合考查的趋势．要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力．从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．下面就高中阶段出现的这类问题加以总结和探讨．

类型一　定点到圆上动点的距离问题

　(1)已知x，y∈R，且圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2＋(y－2)2的最大值与最小值；

(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．

[自主解答]　(1)因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4表示以C(1，－2)为圆心，半径r＝2的圆，所以表示圆上的动点M(x，y)与定点A(－2,2)的距离(如图)．

连接AC，直线AC与圆C交于A1，A2.

则当M位于A2位置时，取得最大值，为|AC|＋r＝＋2＝7.

当M位于A1位置时，取得最小值，为|AC|－r＝－2＝3.

即(x＋2)2＋(y－2)2的最大值为49，最小值为9.

(2)设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.

因为|CO|2＝32＋42＝25，所以(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.

即16≤x2＋y2≤36.

所以d的最小值为2×16＋2＝34，

最大值为2×36＋2＝74.

类型二　可转化为点到直线的距离问题

　　(1)已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为________；

(2)已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点，求点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．

[自主解答]　(1)(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.

[答案]　

(2)圆心C(－2,0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝，大于半径r＝1，

故点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝，最小值为d－r＝.

类型三　与面积有关的最值问题

　已知点P在圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝1上，直线l：3x＋4y＝12与两坐标轴的

交点分别为M，N，则△PMN面积的最大值是(　　)

A.  B.8

C.  D.9

[自主解答]　如图，当点P距离直线l：3x＋4y＝12的距离最大时，△PMN的面积最大．

圆C的圆心(2，－1)到直线l：3x＋4y＝12的距离d＝＝2，

则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝2＋1＝3，

又直线l：3x＋4y＝12与两坐标轴交点分别为M(4,0)，N(0,3)，所以|MN|＝5，

所以△PMN面积的最大值为S＝×5×3＝，故选A.

[答案]　A

类型四　与斜率、截距有关的最值问题

　已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．

(1)求的最大值与最小值；

(2)求x－2y的最大值与最小值．

[自主解答]　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率，令＝k，如图所示，

则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．

对上式整理得kx－y－k＋2＝0，

∴＝1，∴k＝.

故的最大值是，最小值是.

(2)令u＝x－2y，则u＝x－2y可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．