第2章 2.5.1 第2课时 直线与圆的方程的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

第2课时　直线与圆的方程的应用

题型一　与圆有关的最值问题  一题多解

　(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值；

(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范围．

[自主解答]　(1)解法一　如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时最大，过圆心A(2,0)作切线l的垂线交于B，

在Rt△ABO中，

OA＝2，AB＝.

∴切线l的倾斜角为60°，∴的最大值为.

同理可得的最小值为－.

解法二　令＝n，将y＝n x与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，

Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，

∴－≤n≤，即的最大值、最小值分别为，－.

(2)可以看成圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离．圆心C(0,1)到A(2,3)的距离为d＝＝2.

由图可知，圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离的范围是2－，2＋，即的取值范围是2－，2＋.

[规律方法]

与圆有关的最值问题的常见解法

(1)形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．

(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．

[触类旁通]

1．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为(　　)

A．－9,1  B.－10,1

C．－9,2  D.－10,2

解析　y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，

当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时＝，

解得b＝－9或b＝1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.

答案　A

　有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千米的运费到A地是到B地的两倍，若A，B两地相距10千米，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？

[自主解答]　以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，

设A(－5,0)，则B(5,0)．

在坐标平面内任取一点P(x，y)，

设从A运货到P地的运费为2a元/千米，

则从B运货到P地的运费为a元/千米．

若P地居民选择在A地购买此商品，

则2a＜a，

整理得2＋y2＜2，

即点P在圆C：2＋y2＝2的内部，

也就是说，圆C内的居民应在A地购物，

同理可得圆C外的居民应在B地购物，

圆C上的居民可随意选择A，B两地之一购物．

[素养聚焦]　通过直线与圆的方程的实际应用，数学建模、直观想象、逻辑推理等核心

素养体现在解题过程中．

[规律方法]

求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤

(1)认真审题，明确题意．

(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程．

(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．

(4)把代数结果还原为实际问题的解．

提醒：在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围．

[触类旁通]

2．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受到影响的范围半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

解析　以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示．取10 km为单位长度，则受到台风影响的圆形区域所对应的圆O的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，

则轮船航线所在直线的方程为＋＝1，

即4x＋7y－28＝0.

圆心O(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离为d＝＝＞3，所以直线4x＋7y－28＝0与圆O相离，即轮船不会受到台风的影响．

[知识落实]　直线与圆的方程有关的最值问题、直线与圆的方程的实际应用问题．

[技法强化]　(1)与圆有关的最值问题主要涉及斜率、截距、距离、弦长、面积等．

(2)不能正确进行数学建模.

[必备知识·基础巩固]