第2章 2.4.2 圆的一般方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2.4.2　圆的一般方程

[教材梳理]

　已知圆心(2,3)，半径长为2，写出圆的标准方程，并将该圆的方程化为二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式？

[提示]　(x－2)2＋(y－3)2＝4，展开得x2＋y2－4x－6y＋9＝0，即该圆的方程能化为二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．

　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示什么图形？

[提示]　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，它表示圆心为(1，－2)，半径长为2的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，由于不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形．

　若将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方化成2＋2＝的形式，你能得到什么结论？

[提示]　当D2＋E2－4F＞0时，表示以为圆心，为半径的圆．

◎结论形成

1．圆的一般方程

当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

[基础自测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　)

(2)圆的一般方程和标准方程可以互化．(　　)

(3)方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆．(　　)

(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)

解析　(1)√.圆的方程都能写成一个二元二次方程．

(2)√.圆的一般方程和标准方程是可以互化的．

(3)×.不表示圆，方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故不表示圆，而表示点(1，－2)．

(4)√.因为点M(x0，y0)在圆外，所以2＋2＞，

即x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.

答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√

2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)

A．(2,3)　　　　　　　 B.(－2,3)

C．(－2，－3)  D.(2，－3)

解析　－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．

答案　D

3．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)

A．k≤  B.k＝

C．k≥  D.k＜

解析　方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<.

答案　D

4．圆心是(－3,4)，经过点M(5,1)的圆的一般方程为________．

解析　由题意得，圆的半径r＝＝，圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73，展开化为一般式方程得x2＋y2＋6x－8y－48＝0.

答案　x2＋y2＋6x－8y－48＝0

　判断下列二元二次方程是否表示圆，如果是，请求出圆的圆心坐标及半径．

(1)x2＋y2－4x＝0；

(2)x2＋y2－4ax－2ay＋6a2＝0；

(3)4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.

[自主解答]　(1)方程可变形为(x－2)2＋y2＝4，表示圆心坐标是(2,0)，半径是2的圆．

(2)方程可变形为(x－2a)2＋2＝a2.当a＝0时，方程表示点(0,0)；当a≠0时，方程表示圆心坐标是，半径是|a|的圆．

(3)方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋＝0，

即2＋2＝－，

方程不表示任何图形．

[规律方法]

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0

表示圆的两种判断方法

(1)配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆．

(2)定义法：判断D2＋E2－4F是否大于零，确定它是否表示圆．

[触类旁通]

1．已知方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示的曲线是圆，则实数a的值是________．

解析　把方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0化简整理，可得a22＋(a＋2)y2＝1－a，

因为此曲线表示圆，

所以a2＝a＋2，并且1－a＞0，

所以解得a＝－1.

答案　－1

题型二　用待定系数法求圆的一般方程一题多变

　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．

[自主解答]　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

由题意得Error!

解得Error!

即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.

[母题变式]

1．(变结论)例2中若“点M(a,2)在△ABC的外接圆上”，其他条件不变，试求a的值．

解析　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，