第2章 2.4.1 圆的标准方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2．4.1　圆的标准方程

[教材梳理]

　圆的定义是什么？

[提示]　平面内到定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点是圆心，定长为半径．

　圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素是什么？各要素与圆有怎样的关系？

[提示]　圆心和半径．圆心确定圆的位置；半径确定圆的大小．

　设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径长为r(其中a，b，r都是常数，r＞0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是什么？

[提示]　|MA|＝r.

　如果把圆看成是点的集合，M(x，y)为这个圆上任意一点，那么圆心为A的圆如何表示？

[提示]　P＝{M||MA|＝r}．

　用坐标表示点M适合的条件并化简得到什么等式？

[提示]　(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

◎结论形成

1．圆的标准方程

(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.

(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.

2．点与圆的位置关系

圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径长为r，点P(x0，y0)，设点P到圆心的距离为d.

[基础自测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就唯一确定．(　　)

(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆．(　　)

(3)圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(1，－1)，半径长是2.(　　)

(4)点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上．(　　)

解析　(1)√.确定圆的几何要素就是圆心和半径．

(2)×.当m＝0时，不表示圆．

(3)×.圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2的圆心坐标是(－1,1)，半径长是.

(4)×.因为(0－1)2＋(0－2)2＞1，所以点(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外．

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2．圆心为(－2,3)，半径长为2的圆的方程是(　　)

A．(x－2)2＋(y＋3)2＝2

B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4

C．(x＋2)2＋(y－3)2＝2

D．(x－2)2＋(y＋3)2＝4

答案　B

3．圆(x＋1)2＋(y－)2＝a2(a≠0)的圆心为________，半径长为________．

解析　由圆的标准方程知，圆心为(－1，)，半径r＝|a|.

答案　(－1，)　|a|

4．圆心为C(1，－5)，且经过原点的圆的方程是________________．

解析　由条件知，r2＝12＋(－5)2＝26，

故圆的方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝26.

答案　(x－1)2＋(y＋5)2＝26

　写出下列圆的标准方程：

(1)圆心是(4，－1)，且过点(5,2)；

(2)圆心是直线x＋y－1＝0与2x－y＋3＝0的交点，半径长为.

[自主解答]　(1)设圆的半径为r(r＞0)，

则r2＝(5－4)2＋(2＋1)2＝10，

故圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋1)2＝10.

(2)圆心是两直线的交点，

解方程组Error!得Error!

所以圆心为，又半径长为，

所以圆的标准方程为2＋2＝.

[规律方法]

用直接法求圆的标准方程的策略

(1)首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程；

(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“过切点与切线垂直的直线必过圆心”等．

提醒：当圆与坐标轴相切时要特别注意圆心的坐标与圆的半径的关系．

[触类旁通]

1．⊙C的圆心坐标为(x0，x0)，且过点P(4,2)．

(1)求⊙C的方程；

(2)当x0为何值时，⊙C的面积最小？求出此时圆的标准方程．

解析　(1)由已知得到圆的半径为

|PC|＝＝，

所以圆的方程为

(x－x0)2＋(y－x0)2＝2(x0－3)2＋2.

(2)⊙C的面积为π[2(x0－3)2＋2]，

要使圆面积最小，只要x0＝3，

此时圆的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.

题型二　用待定系数法求圆的标准方程 

　已知圆过点A(1，－1)，B(－1,1)，求圆心C在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．

[自主解答]　解法一　设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

由已知条件知Error!

解此方程组，得Error!

故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.

解法二　设点C为圆心，