第2章 2.3.4 两条平行直线间的距离-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2.3.4　两条平行直线间的距离

[教材梳理]

　若过P(x0，y0)的直线l′与l：Ax＋By＋C＝0平行，那么点P到直线l的距离与l′与l的距离相等吗？

[提示]　相等．

　怎样求两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离？

[提示]　先在其中一条直线上任取一点P，然后求点P到另一条直线的距离d，d即为两平行直线间的距离．

◎结论形成

两条平行线间的距离

(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．

(2)求法：两平行线间的距离可转化为点到直线的距离．

(3)结论：两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝.

[基础自测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)连接两平行直线上任意两点，即得两平行直线间的距离．(　　)

(2)已知直线l1：x＝x1，l2：x＝x2，则直线l1，l2间的距离为|x2－x1|.(　　)

(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　　)

(4)已知两平行直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则直线l1，l2间的距离为.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．两条平行直线5x＋12y－1＝0,5x＋12y－10＝0之间的距离为(　　)

A.  B.

C.  D.1

解析　由两平行线间的距离公式可得：

d＝＝.

答案　C

3．已知l1：x－y＋1＝0，l2：x－y－1＝0，则l1与l2之间的距离为________．

解析　由题意知两直线平行，

所以d＝＝＝.

答案　

4．直线l与l1：x－y＋1＝0，l2：x－y＋3＝0之间的距离相等，则直线l的方程是________．

答案　x－y＋2＝0

　(1)直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0间的距离是________．

(2)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离为________．

[自主解答]　(1)6x＋8y＋6＝0可化为3x＋4y＋3＝0，所以直线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0之间的距离d＝＝＝3.

(2)由两条直线平行可得＝，

解得m＝24.

则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1.

[答案]　(1)3　(2)1

[规律方法]

求两平行直线间的距离有两种思路

(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)直接利用两平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离公式．

[触类旁通]

1．(1)直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为(　　)

A.  B.

C.  D.24

解析　两直线变形为3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，d＝＝＝.

答案　B

(2)已知直线－2x＋4y＋2＝0与x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为(　　)

A．9  B.11或－9

C．－11  D.9或－11

解析　直线－2x＋4y＋2＝0即x－2y－1＝0.因为它与直线x－2y－c＝0的距离为2，所以＝2，解得c＝11或c＝－9.

答案　B

题型二　两条平行直线间的距离公式的应用

　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B同时旋转(旋转过程两直线保持平行)，设两条平行直线间的距离为d.

(1)求d的变化范围；

(2)当d取最大值时，求两条直线的方程．

[自主解答]　(1)如图所示，显然有0<d≤|AB|，

而|AB|＝＝3，

故d的变化范围为(0,3]．

(2)当d取最大值时，两条平行直线都垂直于AB，

所以k＝－＝－＝－3，

故所求直线方程分别为y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，

即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

[素养聚焦]　通过对两平行线间距离公式的应用，直观想象、逻辑推理等核心素养体现