第2章 2.3.3 点到直线的距离公式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2.3.3　点到直线的距离公式

[教材梳理]

　在直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，则P到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离是不是点P到直线l的垂线段的长度？

[提示]　是．

　若已知直线l的方程和点P的坐标(x0，y0)，如何求P到直线l的距离？

[提示]　过点P作直线l′⊥l，垂足为Q，|PQ|即为所求，直线l的斜率为k，则l′的斜率为－，所以l′的方程为y－y0＝－(x－x0)，联立l，l′的方程组，解出Q点坐标，利用两点间距离公式求出|PQ|.

　问题2的方法可行但计算量大，还有没有另外的思路？

[提示]　如图，构造Rt△P0RS，分别求出|P0R|，|P0S|及|RS|，然后用等面积转化法求d.

　如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n?

[提示]　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l：Ax＋By＋C＝0上的任意两点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的方向向量．把Ax1＋By1＋C＝0，Ax2＋By2＋C＝0两式相减，得A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0.由平面向量的数量积运算可知，向量(A，B)与向量(x2－x1，y2－y1)垂直．向量就是与直线l的方向向量垂直的一个单位向量．

　如图所示，设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，那么点P到直线l的距离应如何表示？

[提示]　点P到直线l的距离

|PQ|＝||＝|·n|＝.

◎结论形成

点到直线的距离

(1)定义：点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度．

(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

[基础自测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当点P(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0上时，点到直线的距离公式不适用了．(　　)

(2)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　)

(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)

(4)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为(　　)

A.  B.

C.  D.2

解析　直线y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，

由点到直线的距离公式得d＝＝.

答案　A

3．(多选)若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　)

A．－1  B.5

C．1  D.－5

解析　由点到直线的距离公式得＝，所以a＝－1或5.

答案　AB

4．点A(1,0)，B(3,0)到直线l的距离都等于1，直线l的条数是________．

答案　3

题型一　点到直线的距离公式  一题多解

　求点P0(－1,2)到下列直线的距离．

(1)2x＋y－10＝0；(2)x＋y＝2；(3)y－1＝0.

[自主解答]　(1)由点到直线的距离公式知

d＝＝＝2.

(2)因为直线方程可化为x＋y－2＝0，

所以d＝＝.

(3)解法一　由点到直线的距离公式得d＝＝1.

解法二　因为直线y－1＝0与x轴平行，

所以由下图知d＝|2－1|＝1.

[规律方法]

点到直线的距离公式的应用

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式，直接利用点到直线的距离公式即可．

(2)若已知点到直线的距离求参数值时，只需根据点到直线的距离公式列出关于参数的方程即可．

[触类旁通]

1．(1)已知点P为x轴上一点，且点P到直线3x－4y＋6＝0的距离为6，则点P的坐标为________．

解析　设P(a,0)，则有＝6，

解得a＝－12或8，

所以点P的坐标为(－12,0)或(8,0)．