第2章 2.3.2 两点间的距离公式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2.3.2　两点间的距离公式

[教材梳理]

已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，

　当x1≠x2，y1＝y2时，|P1P2|＝？

[提示]　|P1P2|＝|x2－x1|.

　当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝？

[提示]　|P1P2|＝|y2－y1|.

　在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，过P1，P2分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M1(x1,0)，M2(x2,0)，N1(0，y1)，N2(0，y2)，直线P1N1与P2M2相交于点Q，|P1Q|，|QP2|分别是多少？

[提示]　因为|P1Q|＝|M1M2|，|QP2|＝|N1N2|，

所以|P1Q|＝|x2－x1|，|QP2|＝|y2－y1|.

　结合问题3，如何求|P1P2|?

[提示]　在Rt△P1QP2中，利用勾股定理，得到|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，由此得到|P1P2|＝.

　的模的几何意义是什么？

[提示]　表示P1P2的距离．

◎结论形成

两点间的距离公式

(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.

(2)两点间距离的特殊情况：

①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.

②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.

③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.

[基础自测]

1．思维辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　　)

(2)点P1(a,0)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.(　　)

(3)已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，当x1＝x2，y1≠y2时，|P1P2|＝|y2－y1|.(　　)

(4)当A，B两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于(　　)

A．5  B.

C.  D.4

解析　|MN|＝＝5.

答案　A

3．(多选)已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为(　　)

A．1  B.－1

C．5  D.－5

解析　由两点间距离公式得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1，或a＝－5.

答案　AD

4．点A(6,0)，P在直线y＝－x上，|AP|＝3，则P点的个数是________．

答案　1

题型一　两点间的距离公式及应用  一题多变

　已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．

(1)求AB边上的高CE所在直线的方程．

(2)求△ABC的面积．

[自主解答]　(1)由题意可知，E为AB的中点，

kAB＝＝－1，

所以E(3,2)，且kCE＝－＝1，

所以CE所在直线方程为y－2＝x－3，

即x－y－1＝0.

(2)由Error!得Error!

所以C的坐标(4,3)

又A(2,3)，B(4,1)

所以|EC|＝＝，

|AB|＝＝2，

所以S△ABC＝|AB|·|EC|＝2.

[母题变式]

1．(变条件)(一题多解)把本例三角形所满足的条件改为“A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)”，试判断此三角形的形状，并求其面积．

解析　解法一　因为|AB|＝＝2，

|AC|＝＝2，

又|BC|＝＝2，

所以|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，

所以△ABC是等腰直角三角形，

S△ABC＝|AC|·|AB|＝×2×2＝26.

解法二　因为kAC＝＝，

kAB＝＝－，

则kAC·kAB＝－1，

所以AC⊥AB.

又|AC|＝＝2，

|AB|＝＝2，

所以|AC|＝|AB|，所以△ABC是等腰直角三角形，

S△ABC＝|AC|·|AB|

＝×2×2＝26.

2．(变条件、变结论)把本例条件变为：已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．