第2章 2.2.3 直线的一般式方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2.2.3　直线的一般式方程 学业标准 素养目标 1.掌握直线的一般式方程，理解直线的一般式方程与二元一次方程．(重点、难点) 2.能正确进行直线方程的关系五种形式之间的转化．(难点、易混点) 3.能用直线的一般式方程解决有关问题. 通过学习直线的一般式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养. [教材梳理] 导学 直线的一般式方程 　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？ [提示]　能. 　平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ [提示]　可以． 　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？ [提示]　一定． 　方程Ax＋By＋C＝0可以表示平行于x轴的直线吗？平行于y轴的呢？ [提示]　可以．A＝0，BC≠0时，方程表示平行于x轴的直线．B＝0，AC≠0时，方程表示平行于y轴的直线． 　方程Ax＋By＋C＝0可以表示与x轴重合的直线吗？与y轴重合的呢？ [提示]　可以．A＝C＝0，B≠0时，方程表示与x轴重合的直线．B＝C＝0，A≠0时，方程表示与y轴重合的直线． ◎结论形成 直线的一般式方程 (1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． (2)直线方程的一般式与其他形式的互化 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式．(　　) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　) (3)对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率不存在的直线．(　　) (4)将直线方程ax＋(a＋1)y＝a(a＋1)化为截距式为＋＝1.(　　) 解析　(1)√.斜率存在和不存在的直线都可以表示为一般式．如与x轴垂直的直线可表示为Ax＋0·y＋C＝0(A≠0)等． (2)×.如斜率不存在的直线不能化为点斜式、斜截式、两点式． (3)×.对于二元一次方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0，B≠0时，方程表示斜率为0的直线． (4)×.系数a，a＋1可能为零． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30°　　　　　　　 B.60° C．150° D.120° 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 答案　C 3．已知点P(2，m)在直线3x＋y＝2上，那么m的值是________． 解析　由点P在直线上，把P(2，m)代入到直线方程3x＋y＝2得6＋m＝2，解得m＝－4. 答案　－4 4．方程2x－3y－1＝0在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 解析　令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝－，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为，－. 答案　　－ 题型一　直线方程的一般式与其他形式的互化 一题多变 　把直线l的方程2x－3y－6＝0化成截距式，指出直线在x轴、y轴上的截距，并画出图象． [自主解答]　由2x－3y－6＝0，得2x－3y＝6， 即＋＝1， 故该直线在x轴、y轴上的截距分别为3，－2，画出图象如图所示： [母题变式] (变条件)若把本例1中的直线方程“2x－3y－6＝0”换为“－4x＋7y－28＝0”，其结论又如何呢？ 解析　由－4x＋7y－28＝0，得－4x＋7y＝28，即＋＝1，其中在x轴、y轴上的截距分别为－7，4. 画出图象如图所示． [规律方法] 直线方程互化的几个关注点 (1)直线的一般式可以表示任何直线，但特征不明显，解决问题时，可以把直线的一般式化成其他形式； (2)求直线的一般式方程，通常根据题中的条件求出对应形式的方程，再化为一般式． [触类旁通] 1．(1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　) A．3x＋4y＋7＝0　　　　 B.4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0 解析　将一般式化为斜截式，斜率为－的有B、C两项． 又y＝－x＋14过点(0,14)， 即直线过第一象限，所以只有B项正确． 答案　B (2)(多选)当A·C＞0，B·C＜0时，直线l：Ax＋By＋C＝0必经过(　　) A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限 解析　令x＝0，得直线在y轴上的截距为－；令y＝0，得直线在x轴上的截距为－.因为A·C＞0，B·C＜0，所以－＞0，－＜0，所以该直线过第一、二、三象限，不过第四象限． 答案　ABC 　(1)如果直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0(a∈R)平行，那么a＝________. (2)已知直线l1：(k－