第2章 2.2.2 直线的两点式方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2.2.2　直线的两点式方程 学业标准 素养目标 1.掌握直线方程两点式和截距式的形式、特点及适用范围．(重点) 2.能选择适当的形式求直线方程．(难点、易错点) 通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养. [教材梳理] 导学1 直线的两点式方程 观察如图所示的直线l，思考下列问题： 　直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)两点，那么直线l的点斜式方程是什么？ [提示]　由x1≠x2，所求直线的斜率为k＝，则直线的点斜式方程为y－y1＝(x－x1)． 　方程y－y1＝(x－x1)(x1≠x2)能否写成＝？ [提示]　当y1≠y2时，可以写成上式；当y1＝y2时，不能写成该形式． 　过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ [提示]　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母，过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示． ◎结论形成 直线的两点式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 两 点 式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0 导学2 直线的截距式方程 　若直线l经过点A(a,0)与点B(0，b)，则直线l的两点式方程是什么？ [提示]　当a≠0且b≠0时，直线l的两点式方程为＝，即＋＝1. 　过点(5,0)和(0,7)的直线能用＋＝1表示吗？ [提示]　能． ◎结论形成 直线的截距式方程 名称 已知条件 示意图 方程 使用范围 截 距 式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ＋＝1 斜率存在且不为0，直线不过原点 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程＝表示．(　　) (2)在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为＋＝1.(　　) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．(　　) (4)直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.(　　) 解析　(1)×.当x1＝x2或y1＝y2时，直线不能用方程＝表示． (2)×.当a＝0或b＝0时，在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线不能用方程＋＝1表示． (3)√.直线的截距式就是直线过(a,0)，(0，b)两点的直线的两点式方程的简化形式． (4)√.直线y＝x与坐标轴的交点为(0,0)，故在x轴和y轴上的截距均为0. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．经过点A(－3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为(　　) A.＝　　　　　　 B.＝ C.＝ D.＝ 解析　由方程的两点式可得直线方程为＝，即＝. 答案　A 3．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　因为由点坐标知直线在x轴、y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1. 答案　C 4．直线－＝1在y轴上的截距为________． 解析　－＝1可化为＋＝1，所以此直线在y轴上的截距为－3. 答案　－3 　(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________． (2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________. [自主解答]　(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程， 所求的直线方程为x＝2. (2)由直线方程的两点式得 ＝， 即＝. ∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， ∵点P(3，m)在直线AB上， 则m＋1＝－3＋2，得m＝－2. [答案]　(1)x＝2　(2)－2 [规律方法] 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，然后代入两点式． (2)若满足即可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． [触类旁通] 1．(1)经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线的方程为(　　) A．x＝2 B.y＝2 C．x＝3 D.x＝6 解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线MN的方程为y＝2，故选B. 答案　B (2)过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是________． 解析　由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)， 由两点式可得＝，整理得3x＋y－6＝0. 答案　3x＋y－6＝0 　求过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． [自主解答]　(1)当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0. (2)当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝