第2章 2.2.1 直线的点斜式方程-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

2．2.1　直线的点斜式方程 学业标准 素养目标 1.了解直线方程的点斜式的推导过程．(难点) 2．掌握直线方程的点斜式并会应用．(重点) 3．掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．(重点、易错点) 通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养. [教材梳理] 导学1 直线的点斜式方程 　如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k.设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？ [提示]　由斜率公式得k＝，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)． 　经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？ [提示]　斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0. 　过点P0(x0，y0)，且倾斜角为0°的直线方程是什么？ [提示]　y＝y0. ◎结论形成 直线的点斜式方程 名称 点斜式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) 适用条件 斜率存在 导学2 直线的斜截式方程 　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？ [提示]　将k及点(0，b)代入点斜式直线方程，得y＝kx＋b. 　方程y＝kx＋b表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？ [提示]　y轴上的截距b不是距离，b可以是负数和零． ◎结论形成 直线的斜截式方程 名称 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示 方程 y＝kx＋b 适用条件 斜率存在 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)过点(x0，y0)、斜率为k的直线的点斜式方程也可写成＝k.(　　) (2)y轴所在直线方程为y＝0.(　　) (3)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．(　　) (4)过点(1,1)的所有直线都可以用点斜式的形式表示出来．(　　) 解析　(1)×.点(x0，y0)不满足＝k，所以＝k不能表示过点(x0，y0)斜率为k的直线． (2)×.y轴所在直线方程为x＝0. (3)×.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标． (4)×.过点(1,1)且斜率不存在的直线不能用点斜式的形式表示出来． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是(　　) A．y＋3＝x－2 B.y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D.y－2＝x＋3 答案　A 3．直线y＝3x－2的斜率为________，在y轴上的截距为________． 解析　直线y＝3x－2的斜率为3，在y轴上的截距为－2. 答案　3　－2 4．(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为________． (2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为________． 解析　(1)过点(2,1)，平行于y轴的直线方程为x＝2. (2)过点(2,1)，平行于x轴的直线方程为y＝1. 答案　(1)x＝2　(2)y＝1 　(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________． (2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________． (3)求经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍的直线的点斜式方程． [自主解答]　(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的点斜式方程为y－5＝x－2. (2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x＝－5. (3)因为直线y＝x的斜率为，所以倾斜角为30°. 所以所求直线的倾斜角为60°，其斜率为. 所以所求直线的点斜式方程为y＋3＝(x－2)． [答案]　(1)y－5＝x－2　(2)x＝－5 (3)y＋3＝(x－2) [规律方法] 求直线的点斜式方程的步骤 提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x＝x0. [触类旁通] 1．(1)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，则直线l的点斜式方程为____________． 解析　直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1，又点P(3,4)在直线l上，由点斜式方程知，直线l的方程为y－4＝－(x－3)． 答案　y－4＝－(x－3) (2)已知过定点(4,5)的直线m的一个方向向量是d＝(3,2)，则直线m的点斜式方程为________． 解析　因为直线的一个方向向量d＝(3,2)， 所以直线的斜率为. 又直线过点(4,5)， 所以直