第2章 2.1.1 倾斜角与斜率-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

　直线的倾斜角与斜率 2．1.1　倾斜角与斜率 学业标准 素养目标 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程．(重点) 3．掌握过两点的直线斜率的计算公式．(重点) 　　在直线的倾斜角和斜率的概念的形成过程中，提升数学抽象素养；通过借助图形及向量推导直线的斜率计算公式，提升数学运算、逻辑推理素养. [教材梳理] 导学1 直线的倾斜角 　在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？ [提示]　不能． 　在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如下图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ [提示]　不同． ◎结论形成 1．直线的倾斜角的定义 2．直线的倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 3．倾斜程度相同的直线，其倾斜角必相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等． 导学2 直线的斜率 在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. 　已知直线l经过O(0,0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ [提示]　tan α＝＝. 　类似地，如果直线l经过P1(－1,1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标又有什么关系？ [提示]　tan α＝＝1－. 　一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有怎样的关系？ [提示]　tan α＝. ◎结论形成 斜率的概念与斜率公式 定义 α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值 α＝90° 斜率不存在 记法 k，即k＝tan_α(α≠90°) 范围 R 公式 (1)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝； (2)若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝ 作用 实数反映了平面直角坐标系内直线的倾斜程度 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)所有直线都有倾斜角和斜率．(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　) (4)直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大．(　　) 解析　(1)×.所有直线都有倾斜角，但在倾斜角为90°的直线斜率不存在． (2)×.倾斜角不是90°的直线有且只有一个斜率和它对应． (3)√.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和倾斜角α. (4)×.当倾斜角α＝0°时，k＝0；当0°＜α＜90°时，k＞0，并且随α的增大k也增大；当α＝90°时，k不存在；当90°＜α＜180°时，k＜0，并且随α的增大k也增大． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．如图，直线l与y轴正向之间的夹角为30°，则直线的倾斜角为(　　) A．30° B.60° C．45° D.不确定 解析　由倾斜角的定义知直线l的倾斜角为60°. 答案　B 3．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是(　　) A．45°，1 B.135°，－1 C．90°，不存在 D.180°，不存在 解析　∵直线x＝1与y轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在． 答案　C 4．直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，且斜率为2，则实数m的值为________． 解析　根据题意，直线l过点A(1，－1)，B(3，m)，则其斜率k＝＝2，解得m＝3. 答案　3 　(1)如图所示，直线l与y轴的夹角为45°，则l的倾斜角为(　　) A．45° B.135° C．0° D.无法计算 (2)(多选)设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋45° B.45°－α C．α－135° D.135°－α [自主解答]　(1)根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为90°＋45°＝135°.故选B. (2)如图①所示，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角是α＋45°，如图②所示，当135°≤α<180°时，结合图形和倾斜角的概念，即可得到l1的倾斜角为α－135°. [答案]　(1)B　(2)AC [规律方法] 求直线倾斜角的方法及关注点 [触类旁通] 1．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B.90°≤α<180° C．90°<α<180° D.0°<α<180° 解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 答案　C 　(1)经过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B.4 C．1或3