第1章 空间向量与立体几何 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

一、空间向量及其运算 空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础． 　如图所示，在平行六面体A1B1C1D1­ABCD中，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示. [自主解答]　连接AN(图略)，则＝＋，由题知ABCD是平行四边形，故＝＋＝a＋b.因为M分成的比为，所以＝－＝－(a＋b)． 又N分成的比为2，故＝＋ ＝－＝－＝－(－)＝(c＋2b)，则＝＋＝－(a＋b)＋(c＋2b)＝(－a＋b＋c)． 二、空间向量与空间位置关系 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； (2)线面平行(l⊄α)：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； (3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R； (4)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； (5)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； (6)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0. 　如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； (2)平面PMC⊥平面PDC. [自主解答]　证明　(1)由题意得AB，AD，AP两两垂直．如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0,0，a)，A(0,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)． 因为M，N分别为AB，PC的中点， 所以M，N. 所以＝，＝(0,0，a)，＝(0，a,0)， 所以＝＋. 所以，，共面． 又MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. (2)由(1)可知＝(b，a，－a)，＝，＝(0，a，－a)． 设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则 所以 令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)． 设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)． 则 所以 令z2＝1，则n1＝(0,1,1)． 因为n1·n2＝0－b＋b＝0， 所以n1⊥n2，所以平面PMC⊥平面PDC. 三、空间向量与空间距离、空间角 几何法求空间距离、空间角，都需要先作出(或证出)所求的距离或角，费时费力，难度较大，而利用空间向量，只需求出点的坐标、直线的方向向量和平面的法向量，即可求解，体现了向量法极大的优越性． 角度1　利用空间向量求点到平面的距离 　如图所示，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求点A到平面MBC的距离． [自主解答]　如图所示，取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD， 所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，直线OC，BO，OM分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz. 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(0,0，2)． 设平面MBC的法向量为n＝(x，y，z)，由得即取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1，1)，又＝(0,0,2)， 所以所求距离d＝＝. 角度2　利用空间向量求线线角 　如图所示，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC. (1)证明：平面AEC⊥平面AFC； (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值． [自主解答]　(1)证明　连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF. 在菱形ABCD中，不妨设GB＝1. 由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝. 由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC. 又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC. 在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝. 在Rt△FDG中，可得FG＝. 在直角梯形BDFE中， 由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝. 从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG. 又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC. (2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系Gxyz. 由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)， 所以＝(1，，)，＝. 故cos〈，〉＝＝－. 所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为. 角度3　利