第1章 空间向量与立体几何 章末达标检测-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B.等长的向量 C．共面向量 D.不共面向量 解析　因为－＝＝，所以，，共面． 答案　C 2．已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接BD，AG，则＋＝(　　) A. B. C. D. 解析　在△BCD中，连接BG(图略)．因为点G是CD的中点，所以＝，从而＋(＋)＝＋＝.故选A. 答案　A 3．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，且a∥b，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　) A．90° B.60° C．30° D.0° 解析　∵|a|2＝2，|b|2＝2，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)． 答案　A 4．已知空间中三点A(－1,0,0)，B(0,1，－1)，C(－2，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 解析　依题意得＝(－1，－1,2)，＝(1,1，－1)则点C到直线AB的距离为＝＝＝.故选A. 答案　A 5.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 解析　依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB＝BC＝2，AD＝3，PA＝2， 则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)， 从而＝(2,0，－2)，＝(2,2，－2)，＝(0,3，－2)． 设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)， 则 即 不妨取c＝3，则a＝1，b＝2， 所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,2,3)， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为 sin θ＝ ＝＝. 答案　C 6．在四棱锥P­ABCD中，＝(2，－1,3)，＝(－2,1,0)，＝(3，－1,4)，则这个四棱锥的高为(　　) A. B. C. D. 解析　设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则∵＝(2，－1,3)，＝(－2,1,0)， ∴令x＝1，可得y＝2，z＝0，即n＝(1,2,0)，∴cos〈n，〉＝＝. 设AP与平面ABCD所成角为α，则sin α＝，于是P到平面ABCD的距离为sin α＝，即四棱锥P­ABCD的高为. 答案　A 7．《九章算术》中记载了一种名为“刍薨”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为(　　) A. B. C. D. 解析　如图，以矩形ABCD的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系． ∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF⊂平面yOz，且Oz垂直平分线段EF. 设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D，E，B，F ∴＝，＝， ∴·＝－1×1＋1×(－1)＋×＝0， ∴⊥，∴异面直线DE与BF所成的角为.故选A. 答案　A 8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥平面AA1B1B，则MN的长为(　　) A. B. C．2 D. 解析　如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴、DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系． 因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，平面AA1B1B的一个法向量为＝(2,0,0)．因为点M在A1D上，且A1M＝，所以点M(1,0,1)．因为点N在AC上，所以设N(m,2－m,0)(0<m<2)，则＝(m－1,2－m，－1)．因为MN∥平面AA1B1B，易知为平面AA1B1B的一个法向量，所以⊥，有2(m－1)＋0＋0＝0，m＝1，故＝(0,1，－1)，所以MN＝＝＝.故选A. 答案　A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是(　　) ①＋2＋2＋； ②2＋2＋3＋3＋； ③＋＋； ④－＋－. A．① B.② C．③ D.④ 解析　①中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意； ②中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0； ③中，原式＝，不符合题意； ④