第1章 教考衔接(1) 巧构空间直角坐标系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

一、真题展示 (2022·新高考全国卷Ⅰ)(12分)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2. (1)求A到平面A1BC的距离； (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A­BD­C的正弦值． 二、真题溯源 (教科书第37页例8)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝CB＝2，AA1＝3，∠ACB＝90°，P为BC的中点，点Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q＝2AQ，BR＝2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值． 三、解法探究 可以看到，无论是高考题，还是教科书例题，解决这类问题的关键是依托图形建立空间直角坐标系，将向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的四种方法，在面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 类型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. [自主解答]　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B1，D1， 所以＝，＝， 因为cos〈，〉＝＝＝. 所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. [答案]　C 类型二　利用线面垂直关系建系 　如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥平面BB1C1C，E为棱C1C的中点，已知AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标． [自主解答]　过点B作BP⊥BB1交C1C于点P， 因为AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BP，AB⊥BB1， 以B为坐标原点，分别以BP，BB1，BA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Bxyz. 因为AB＝，BB1＝2，BC＝1，∠BCC1＝， 所以CP＝，C1P＝，BP＝，则各点坐标分别为B(0,0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，C，C1，E，A1，P. 类型三　利用面面垂直关系建系 　如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________． [自主解答]　由题设易知，AB，AD，AQ两两垂直．以A为原点，AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，M(0,1,2)，F(2,1,0)， 所以＝(－1,1,2)，＝(2,1,0)， cos〈，〉＝＝＝， 又异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线EM与AF所成角的余弦值为. [答案]　 [反思感悟]　本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系. 类型四　利用底面的中心与高所在的直线建系 　如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面为正方形，O1，O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O. (1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD； (2)若点E，F分别在棱AA1，BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD? [自主解答]　(1)证明　如图所示，以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设OA＝1，OA1＝a. ∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，A1(0,0，a)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，O1(－1,0，a)． ∴＝(0,0，－a)， ∴O1C∥z轴，又z轴和平面ABCD垂直， ∴O1C⊥平面ABCD， 又O1C⊂平面O1DC， ∴平面O1DC⊥平面ABCD. (2)由(1)可知，＝，＝(－1,0，a)，＝＝(－1，－1,0)． 设＝γ，则＝(－γ，－γ，0)，故点F的坐标为(－γ，1－γ，0)，∴＝. 由EF⊥AD⇔·＝0，即·＝－－γ－γ＋1＝0，解得γ＝. 故当F为BC的三等分点(靠近点B)时，有EF⊥AD. [反思感悟]　依托于平行六面体的高所在直线与底面正方形的两对角线便可建立空间直角坐标系. 学科网（北京）股份有限公司 $$