第1章 1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

第2课时　用空间向量研究夹角问题 [教材梳理] 导学1 两条异面直线所成的角 　怎样求两条异面直线所成的角？ [提示]　(1)平移法；(2)向量法． 　两条异面直线所成的角和两条异面直线的方向向量夹角有什么区别？ [提示]　两条异面直线所成的角为锐角或直角，而两向量夹角的范围是[0，π]，两条异面直线所成角与它们的方向向量的夹角相等或互补． ◎结论形成 两条异面直线所成的角 设两条异面直线l1，l2所成的角为θ，它们的方向向量分别为u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 导学2 直线与平面所成的角 　直线和平面所成角的范围是什么？ [提示]　直线和平面所成角的范围是[0°，90°]；若直线和平面斜交，则所成的角为锐角． 　当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？ [提示]　不一定，这条直线还可能与平面平行． 　直线与平面所成的角θ和直线方向向量u与平面法向量n的夹角有什么关系？ [提示]　直线方向向量与平面法向量所夹的锐角α和直线与平面所成的角θ互为余角，即θ＝－α. ◎结论形成 直线与平面所成的角 如图所示，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. 导学3 两个平面的夹角 　二面角的平面角的取值范围是多少？ [提示]　[0，π]． 　两个平面相交，可以组成几个二面角？ [提示]　4个． ◎结论形成 (1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)两平面夹角的计算：若平面α，β的法向量分别是n1，n2，设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两条异面直线所成的角的余弦值一定是非负值．(　　) (2)直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的法向量所成的角．(　　) (3)两平面的夹角就是两个平面的法向量的夹角．(　　) (4)二面角的大小等于平面与平面的夹角．(　　) 解析　(1)√.两条异面直线所成的角的范围是，其余弦值非负． (2)×.直线与平面所成的角的余角等于直线的方向向量与平面的法向量所成的角或其补角． (3)×.两平面的夹角与两个平面的法向量的夹角相等或互补． (4)×.不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2. 已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B.60° C．120° D.150° 解析　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∴θ＝30°. 答案　A 3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面的夹角的大小为(　　) A．45° B.60° C．90° D.135° 解析　∵cos〈m，n〉＝＝＝， ∴两平面的夹角的大小为45°. 答案　A 4．设异面直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,1,0)，b＝(1,0，－1)，则异面直线l1，l2所成角的大小为________． 解析　因为异面直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,1,0)，b＝(1,0，－1)， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以〈a，b〉＝. 所以异面直线l1，l2所成角的大小为. 答案　 题型一　求两条异面直线所成的角 　如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值． [自主解答]　以O为坐标原点，，的方向为x轴、y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0(0,0,0)，O1(0,1，)， A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)， ∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)． ∴|cos〈，〉|＝ ＝＝. ∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为. [规律方法]由于两异面直线所成角θ的范围是，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意. [触类旁通] 1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角． 解析　由题意得AB，AD，AP两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,0,0)，C(1,1,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)， 所以＝(－1,0,1)，＝(1，－1,0)， cos〈，〉＝＝＝－. 所以〈，〉＝120°， 故PB与CD所