第1章 1.4.2 第1课时 用空间向量研究距离问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 学业标准 素养目标 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题． 2．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题(重点、难点) 3．体会向量方法在解决立体几何问题中的作用．(难点) 1.通过学习空间中距离的概念，点、线、面距离的相互转化与计算，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养． 2．通过学习空间角的计算步骤和方法，把两异面直线所成的角、线面角、二面角转化为向量的夹角求解，培养学生的直观想象和数学运算素养. 第1课时　用空间向量研究距离问题 [教材梳理] 导学1 用向量法求点到直线的距离 　空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，应如何用向量方法求它们之间的距离？ [提示]　P1P2＝|| ＝. 　如何求直线外一点P到直线l的距离？ [提示]　我们可以由点P向直线l作垂线，得垂足Q，则PQ的长度即为点P到直线l的距离． 　已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，能否利用这些条件求点P到直线l的距离？ [提示]　能. 如图所示， 向量在直线l上的投影向量为，则△APQ是直角三角形．因为A，P都是定点，所以||，与u的夹角∠PAQ都是确定的．于是可求||.再利用勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ. 　如何用向量法求两条平行直线间的距离？ [提示]　从其中一条直线上取点P，然后求点P到另一条直线的距离即可． ◎结论形成 1．点P到直线l的距离 d＝＝.(已知u为直线l的单位方向向量，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设＝a) 2．两平行直线a，b 之间的距离 d＝(A∈a，P∈b，u为直线a的单位方向向量)． 导学2 用向量法求点到平面的距离 　点到平面的距离是如何定义的？ [提示]　一点到它在一个平面内正射影的距离，叫做点到这个平面的距离． 　如图所示，已知平面α的法向量为 n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，应如何求点P到平面α的距离？ [提示]　过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度． 　能否将线面距离及两平行平面的距离转化为点到平面的距离？ [提示]　能．直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离，两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离． ◎结论形成 1．平面外点P到平面α的距离为 d＝，其中A∈α，n为平面α的法向量． 2．平行于平面α的直线l与平面α之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈l，n是平面α的法向量． 3．两平行平面α，β之间的距离 d＝，其中A∈α，B∈β，n是平面α的法向量． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两平行平面之间的距离就是一个平面内任意一点到另一个平面的距离．(　　) (2)点P到平面α的距离公式是d＝，其中A为平面α内任意一点，n为平面α的一个法向量．(　　) (3)点P到直线l的距离公式是d＝，其中A为直线l上任意一点，a为与直线l垂直的向量．(　　) (4)若直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A. B.2 C. D. 解析　由题意＝(＋)＝，＝－＝，||＝＝. 答案　D 3．已知直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3,0,4)，则P(3,5,0)到l的距离为(　　) A．5 B.14 C. D. 答案　C 4．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1，3,0)在α内，则P(－2,1,4)到平面α的距离为(　　) A．10 B.3 C. D. 解析　因为A(－1,3,0)，P(－2,1,4)，所以＝(－1，－2,4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A在α内， 所以P(－2,1,4)到平面α的距离为＝＝. 答案　D 　在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． [自主解答]　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)， ∴＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)． ∴||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴在上的投影为＝ . ∴点A到直线EF的距离 d＝＝＝. [规律方法] 用向量法求点到直线的距离的一般步骤