第1章 1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

第3课时　空间中直线、平面的垂直 学业标准 素养目标 1.能利用平面法向量证明两个平面垂直．(重点) 2．能利用直线的方向向量和平面的法向量判定并证明空间中的垂直关系．(重点、难点) 利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的垂直关系，培养学生的数学运算、直观想象和逻辑推理素养. [教材梳理] 导学 空间向量与垂直关系 　两条直线互相垂直，它们的方向向量满足什么关系？ [提示]　垂直． 　若一条直线和一个平面垂直，那么直线的方向向量和平面的法向量满足什么关系？ [提示]　平行． 　若两个平面垂直，那么它们的法向量满足什么关系？ [提示]　垂直． 　若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？ [提示]　垂直． ◎结论形成 空间中垂直关系的向量表示 线线 垂直 设直线l1的方向向量为u1＝(a1，a2，a3)，直线l2的方向向量为u2＝(b1，b2，b3)，则l1⊥l2⇔u1·u2＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 线面 垂直 设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn⇔(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R) 面面 垂直 若平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，则α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两直线垂直的充要条件是两直线的方向向量垂直．(　　) (2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向量与平面的法向量平行．(　　) (3)两平面垂直的充要条件是两平面的法向量垂直．(　　) (4)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(　　) 解析　(1)√.根据直线的方向向量和线线垂直的定义，该判断正确． (2)√.根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义，该判断正确． (3)√.根据平面的法向量的定义和面面垂直的定义，该判断正确． (4)√.根据直线的方向向量与平面的法向量的定义和线面垂直的定义，该判断正确． 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(－3,6，－9)，则(　　) A．l⊂α　　　　　　　　　 B.l∥α C．l⊥α D.l与α相交 解析　直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(－3,6，－9)， ∴a＝－n，∴a∥n， ∴l⊥α，故选C. 答案　C 3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则直线l与平面α的关系为________． 解析　∵μ＝－2a，∴a∥μ，∴l⊥α. 答案　l⊥α 4．已知α⊥β，平面α与平面β的法向量分别为m，n，且m＝(1，－2,5)，n＝(－3,6，z)，则z＝________. 解析　因为α⊥β，且平面α与平面β的法向量分别为m，n，所以m·n＝(1，－2,5)·(－3,6，z)＝－3－12＋5z＝0，解得z＝3. 答案　3 　已知正三棱柱ABC­A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN. [自主解答]　证明　如图，以A为坐标原点，以平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，AC，AA1所在的直线分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1，M，N， 所以＝，＝， 所以·＝－＋＋＝0. 所以⊥，即AB1⊥MN. [规律方法] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标，进而求直线的方向向量． [触类旁通] 1.如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF. 证明　证法一　以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AD＝a，则A(0,0,0)，P(0,0,1)，B(0，1,0)，C(a,1,0)，于是F. ∵E在BC上，∴设E(m,1,0)， ∴＝(m,1，－1)，＝. ∵·＝0，∴PE⊥AF，∴无论点E在边BC上何处，总有PE⊥AF. 证法二　∵点E在边BC上，可设＝λ， ∴·＝(＋＋)·(＋) ＝(＋＋λ)·(＋)＝(·＋·＋·＋·＋λ·＋λ·) ＝(0－1＋1＋0＋0＋0)＝0， ∴⊥，∴PE⊥AF， 故无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF