第1章 1.4.1 第2课时 空间中直线、平面的平行-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

第2课时　空间中直线、平面的平行 [教材梳理] 导学 空间中直线、平面的平行 　若两条直线平行，则它们的方向向量有什么关系？ [提示]　平行． 　若一条直线与一个平面平行，则直线的方向向量和平面的法向量什么关系？ [提示]　垂直． 　若直线的方向向量和平面的法向量垂直，这条直线与这个平面一定平行吗？ [提示]　不一定，直线还可能在平面内． 　若两个平面平行，则它们的法向量有什么关系？ [提示]　平行． ◎结论形成 空间中平行关系的向量表示 设直线l，l1，l2的方向向量分别为u，u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，u1＝λu2 线面平行 l∥α⇔u⊥n1⇔u·n1＝0 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，n1＝λn2 [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)两直线的方向向量平行，则两直线平行．(　　) (2)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行．(　　) (3)平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(　　) (4)如果向量a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．(　　) 解析　(1)×.两直线可能重合． (2)×.直线可能在平面内． (3)√.根据平面法向量的定义，可知，平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量，是正确的． (4)×.当a，b共线时，n就不是平面α的一个法向量． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．若两条直线的方向向量分别是a＝(2,4，－5)，b＝(－6，x，y)，且两条直线平行，则x＝________，y＝________. 答案　－12　15 3．若平面β外的一条直线l的方向向量是u＝(－1,2，－3)，平面β的法向量为n＝(4，－1，－2)，则l与β的位置关系是________． 解析　因为u·n＝(－1,2，－3)·(4，－1，－2)＝0，所以u⊥n.所以直线与平面平行，即l∥β. 答案　平行 4．设平面α，β的一个法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为________． 解析　∵v＝－3(1,2，－2)＝－3u，∴v∥u， ∴α∥β. 答案　平行 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)． [自主解答]　(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)， ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u， ∴v∥u，即α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a·u≠0且a≠ku (k∈R)， ∴a与u既不共线也不垂直， 即l与α相交但不垂直． (4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)， ∴a·u＝－3＋4－1＝0， ∴a⊥u，即l⊂α或l∥α. [规律方法] 1两直线的方向向量共线垂直时，两直线平行垂直；否则两直线相交或异面. 2直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行，否则直线与平面相交但不垂直. 3两个平面的法向量共线垂直时，两平面平行垂直，否则两平面相交但不垂直. [触类旁通] 1．(1)已知向量a＝(3,6,7)，b＝(4，m，n)，且向量a，b分别为直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．m＝8，n＝28 B.m＝4，n＝28 C．m＝8，n＝ D.m＝4，n＝ 解析　∵l1∥l2，且向量a＝(3,6,7)，b＝(4，m，n)分别为直线l1，l2的方向向量，∴a∥b， ∴＝＝，∴m＝8，n＝. 答案　C (2)设平面α与向量a＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b＝(－2,4，－8)垂直，则平面α与β位置关系是________． 解析　∵a＝b，∴a∥b. ∵平面α与向量a垂直， ∴平面α与向量b也垂直． ∵平面β与向量b垂直， ∴α∥β. 答案　α∥β 题型二　直线和直线平行一题多解 　如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2，求证：MN∥AP. [自主解答]　证明　证法一　由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，