第1章 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 学业标准 素养目标 1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量．(重点) 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系．(难点) 3．能用向量方法解决必修内容中有关直线、平面的位置关系问题．(重点、难点) 1.在学习用向量语言表述直线、平面以及理解直线的方向向量和平面的法向量的过程中，经历数学概念的抽象过程，培养数学抽象素养，发展数学运算素养． 2．利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系，判定直线、平面的平行与垂直关系，培养学生的数学运算、直观想象素养和逻辑推理素养. 第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示 [教材梳理] 导学1 空间中点、直线的向量表示 　空间直角坐标系中的点和坐标有什么关系？ [提示]　一一对应． 　直线的方向向量能确定直线吗？ [提示]　不能． ◎结论形成 1．用向量表示点的位置 基点 在空间中，我们取一定点O作为基点 向量表示 空间中任意一点P的位置可以用向量来表示 点的位置向量 点P的位置向量为向量 2.用向量表示直线的位置 条 件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) 形 式 在直线l上取＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝t 取定空间中的任意一点O，对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得＝＋ta＝＋t 作 用 定位置 点A和向量a可以确定直线l的位置 定点 可以具体表示出l上任意一点 导学2 空间平面的向量表示 　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是什么？ [提示]存在唯一的有序实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb. 　如何用向量表示点P在平面ABC内的充要条件？ [提示]存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y. ◎结论形成 用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定． 条 件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O 形 式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得＝xa＋yb 取定空间任意一点O，存在实数x，y，使＝＋x＋y (2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定． 平面的法向量 直线l⊥α，直线l的方向向量a，叫做平面α的法向量 确定平面位置 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的，可以表示为集合{P|a·＝0} [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　　) (2)若A(－1,2,1)，B(1,0,3)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(1，－1,1)．(　　) (3)若向量n1，n2为同一平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行．(　　) (4)若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则·n＝0.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．若点A(2,1,1)，B(1,2,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(2,1,1) B.(－2,2,2) C．(－3,2,1) D.(2,1，－1) 解析　因为＝(－1,1,1)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量，故选B. 答案　B 3．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　) A．l∥α B.l⊥α C．l⊂α D.l与α斜交 解析　由题知n＝－2a，故直线l⊥α，故选B. 答案　B 4．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，则m等于________． 解析　∵l∥α，平面α的法向量为， ∴(2，m,1)·＝0， 即2＋m＋2＝0，∴m＝－8. 答案　－8 　在四棱锥P­ABCD中，ABCD是平行四边形，点E在PC上，且CE＝3EP，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，求直线AE的一个方向向量． [自主解答]　如图所示，＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c. 故直线AE的一个方向向量是a＋b＋c. [规律方法]求直线的方向向量关键是找到直线上的两点，用所给的基向量表示以这两点为起点和终点的向量，其难点是向量的运算. [触类旁通] 1．(1)已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　) A．0 B.1 C. D.3 解析　∵A(0，y,3)，B(－1,2，z)， ∴＝(－1,2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1,3)，故设＝km. ∴解得 ∴y－z＝0