第1章 1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

1.3.2　空间向量运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点) 2．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决简单几何体中的问题．(重点、难点) 　　通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养. [教材梳理] 导学 空间向量运算的坐标表示 　设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？ [提示]　m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2. 　已知非零向量a，b，c分别平行于x轴、y轴、z轴，它们的坐标各有什么特点？ [提示]　向量a的横坐标不为0，其余均为零；向量b的纵坐标不为0，其余均为0；向量c的竖坐标不为零，其余均为0. ◎结论形成 1．空间向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2.空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则： 平行 (a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直 (a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ ＝ 3.向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则： (1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)； (2)P1P2＝|| ＝. [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同．(　　) (2)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b⇔＝＝.(　　) (3)若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则〈a，b〉是钝角⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＜0.(　　) (4)把向量a＝(x，y，z)平移后其坐标不变．(　　) 解析　(1)×.向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标． (2)×.当b的三个坐标都不为0时，a∥b⇔＝＝才成立，否则有些分式无意义． (3)×.当a1b1＋a2b2＋a3b3＜0时，〈a，b〉可能等于180°. (4)√.向量平移后，起点和终点坐标会发生变化，但对应坐标的差，即向量的坐标不变． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝(　　) A．(2，－4,2)　　　　　 B.(－2,4，－2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 解析　b＝a－(－1,2，－1)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 答案　A 3．(2022·济南模拟)已知空间向量a＝(m＋1，m，－2)，b＝(－2,1,4) ，且a⊥b，则m的值为(　　) A．－ B．－10 C．10 D. 解析　∵a⊥b，∴－2(m＋1)＋m－8＝0⇒m＝－10.故选B. 答案　B 4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________. 解析　a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1,0，－1)，2a－3b＝2(1,1,0)－3(0，1,1)＝(2，－1，－3)．所以(a－b)·(2a－3b)＝(1,0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5. 答案　－2　5 　已知O是坐标原点，点A(2,0，－2)，B(3,1,2)，C(2，－1,7)． (1)若点P满足＝2－3，则点P的坐标为________； (2)若点P满足＝2－，则点P的坐标为________． [自主解答]　＝(1,1,4)，＝(0，－1,9)． (1)因为＝2－3＝2(1,1,4)－3(0，－1，9)＝(2,5，－19)， 所以点P的坐标为(2,5，－19)． (2)设P(x，y，z)，则＝(x－2，y，z＋2)． 因为＝2－， 所以(x－2，y，z＋2)＝2(1,1,4)－(0，－1,9)＝(2,3，－1)， 所以x－2＝2，y＝3，z＋2＝－1， 即x＝4，y＝3，z＝－3， 所以点P的坐标为(4,3，－3)． [答案]　(1)(2,5，－19)　(2)(4,3，－3) [规律