第1章 1.3.1 空间直角坐标系-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 学业标准 素养目标 1.了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点) 3．能在空间直角坐标系中求出向量的坐标．(重点) 　　通过空间直角坐标系的建立及空间向量的坐标表示，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养. [教材梳理] 导学1 空间直角坐标系 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？ [提示]　3个． 　如图，怎样确切地表示室内灯泡的位置？ [提示]　如图所示，从图中看出，N点可以用两个有序实数表示，P与N点的不同在于竖直方向上与N有段距离．所以要表示灯泡的位置需要三个不同方向上的实数． 　平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴构成？其相对位置关系如何？ [提示]　三条交于一点且两两互相垂直的数轴． ◎结论形成 空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. (2)相关概念 点O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (3)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 导学2 空间向量的坐标 　在平面直角坐标系内，每一个点和坐标都可用一对有序实数(及它的坐标)表示，那么对于空间直角坐标系中的每一个点和向量，能否也用坐标表示呢？ [提示]　可以． 　怎样把空间向量用坐标表示？ [提示]　利用空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底表示． ◎结论形成 1．点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk. 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，点P(a，b，c)关于x轴的对称点是P1(a，－b，c)．(　　) (2)在空间直角坐标系中，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)．(　　) (3)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　) (4)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使得0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列点在x轴上的是(　　) A．(0.1,0.2,0.3)　　　　 B.(0,0,0.001) C．(5,0,0) D．(0,0.01,0) 解析　x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0. 答案　C 3．点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．5 解析　点P(1，－2,5)在xOy平面上的射影是P′(1，－2，0)，则点P(1，－2,5)到xOy平面的距离为|PP′|＝5. 答案　D 4．(多选)在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法不正确的是(　　) A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量－的坐标相同 解析　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；B，C都不正确；由于＝－，所以D正确． 答案　ABC 　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，点N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标． [自主解答]　如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1. 由|BM|＝2|MC1|，知|MM1|＝|CC1|＝， |M1C|＝|BC|＝. 因为M1M∥DD1， 所以M1M与z轴平行， 点M1与点M的横坐标、纵坐标相同， 点M的竖坐