第1章 1.2 空间向量基本定理-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

　空间向量基本定理 学业标准 素养目标 1.类比平面向量基本定理，理解并掌握空间向量基本定理．(重点) 2．能熟练地用基底表示向量，并能解决平行、垂直、夹角等问题．(重点、难点) 通过利用空间向量基本定理，培养学生的直观想象和数学运算素养. [教材梳理] 导学1 空间向量基本定理 　平面向量对基底有什么要求？ [提示]　要求两个基向量不共线． 　平面内任意向量都能用基底表示吗？ [提示]　是． 　空间中存在不共面的两个向量吗？三个向量呢？ [提示]　空间中任意两个向量共面，三个向量可能共面也可能不共面． ◎结论形成 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 导学2 空间向量的正交分解 　0能不能作为基向量？ [提示]　不能． 　平面向量的正交分解中，要求基向量满足什么条件？ [提示]　要求两个基向量互相垂直，而且长度都为1. ◎结论形成 1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解：对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)0也可以作为基向量．(　　) (2)空间的任意一个向量都可用三个给定向量表示．(　　) (3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　　) (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(　　) 解析　(1)×.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0，所以0不能是基向量． (2)×.当三个向量不共面时，才可以表示空间中的任意一个向量． (3)√.由空间向量基本定理可知只有不共面的三个向量才可以做基底． (4)×.空间的基底是由三个不共面的向量组成的． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．在三棱柱ABC­A1B1C1中，可以作为空间向量一组基底的是(　　) A.，，　　　 B.，， C.，， D.，， 解析　不共面的三个向量可以作为基底． 答案　C 3．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c作为基底向量表示＝________. 答案　a－b－c 4．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋ve3＝0，则λ2＋μ2＋v2＝________. 解析　∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底， ∴e1，e2，e3为不共面向量． 又λe1＋μe2＋ve3＝0， ∴λ＝μ＝v＝0， ∴λ2＋μ2＋v2＝0. 答案　0 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． [自主解答]　假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立，即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底， 所以e1，e2，e3不共面，所以显然此方程组无解，即不存在实数x，y， 使得＝x＋y成立， 所以，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基底． [规律方法] 基底判断的基本思路和注意问题 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)注意问题：对于三个向量，若其中存在零向量，则这组向量不能作为基底；若其中存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底． [触类旁通] 1．(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 解析　如图所示，令a＝，b＝， c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝. 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故选BCD. 答案　BCD 题型二　用基底表示向量一题多变 在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．用向量a，b，c表示，. [自主解答]　连接AF(图略)，＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝