第1章 1.1.1 空间向量及其线性运算-【精讲精练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册人教A版（教师用书）

　空间向量及其运算 1．1.1　空间向量及其线性运算 学业标准 素养目标 1.理解空间向量的概念．(难点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点) 3．掌握空间向量共线和共面的充要条件及应用．(重点、难点) 在空间向量概念的形成和进行线性运算的过程中，经历由具体到抽象、由图形语言到符号语言的表达过程，提升学生的直观想象、数学抽象和数学运算素养. [教材梳理] 导学1 空间向量的有关概念 　在平面中有哪些特殊的向量？ [提示]零向量、单位向量、相等向量、相反向量等． ◎结论形成 1．空间向量的有关概念 定义 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量 长度(模) 向量的大小叫做向量的长度或模 表示法 几何表示法 用有向线段表示 字母表示法 向量a的起点是A，终点是B，可以记作，其模记为|a|或|| 2.特殊向量 名称 定义 表示法 零向量 长度为0的向量 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量叫做a的相反向量 －a 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b或 ＝ 共线向量 (或平行向量) 如果表示空间向量a，b的有向线段所在的直线互相平行或重合，则向量a，b叫做共线向量或平行向量 a∥b 导学2 空间向量的线性运算 　进行平面向量的加法、减法运算需要掌握哪两个法则？ [提示]　平行四边形法则和三角形法则． 　在平面向量中，使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？ [提示]　利用三角形法则进行加法运算时，注意“首尾相连”， 进行减法运算时，注意“共起点”. 平行四边形法则一般用来进行向量的加法运算． ◎结论形成 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ＞0时，λa＝λ＝； 当λ＜0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， λ(μa)＝(λμ)a. (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb 导学3 空间向量共线和共面的充要条件 　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ [提示]　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量． 　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ [提示]　不一定，如图所示，空间中，，这三个向量不共面． ◎结论形成 1．共面向量 平行于同一个平面的向量． 2．空间向量共线和共面的充要条件 共线(平行)向量 共面向量 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 3.直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． [基础自测] 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)向量的长度与向量的长度相等．(　　) (2)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　) (3)零向量没有方向．(　　) (4)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有(　　) A．1个　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 解析　与相等的向量有，，，共3个． 答案　C 3．化简－＋所得的结果是(　　) A. B. C．0 D. 答案　C 4．对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是(　　) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析　由向量共面定理可知，三个向量a，b,2a－b为共面向量． 答案　A 下列说法正确的是(　　) A．若|a|＝|b|，则向量a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ [自主解答]　|a|＝|b|，说明向量a与b的模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B. [答案]　B [规律方法]在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两个向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两个