12.指数型复合函数求值域-2023-2024学年高一数学必修第一册函数重点题型汇总

12.指数型复合函数求值域

1．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得在上的值域包含于在上的值域，利用基本不等式先求出在上的值域，然后当时，对分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而可求出实数的取值范围.

【详解】当时，，

因为，当且仅当，即时取等号，

所以，

所以在上的值域，

当时，，

①当时，在上递增，

所以的值域为，

由题意得，得，

因为，所以，

②当时，，

则在上递增，所以的范围为，

在上递减，所以的范围为，

由题意得，得，

因为，所以，

综上，实数的取值范围为，

故选：D

2．已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的函数值集合，再由分段函数值域的意义求出a的范围作答.

【详解】当时，，而函数在上单调递增，又是增函数，

因此函数在上单调递增，，即函数在上的值域为，

当时，函数的值域为，而函数的值域为R，因此，

而当时，，必有，解得，

所以a的取值范围是.

故选：C

3．已知，，，使成立.则a的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将问题化为在上成立，利用指对数的单调性求对应最值，再求解不等式解集即可.

【详解】由题设，使成立，

所以在上成立，

对于，有，

对于，有，

所以，即，可得.

故选：B

4．已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分类讨论 f(x) 的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解.

【详解】记

因为，所以，所以

当时，，所以，

取，

则对任意正整数，总有成立，故舍．

当时，．所以

要使正整数的最大㨁为6，则，解得；

当时，，所以

显然存在任意正整数，使得成立；

当时，，所以

要使正整数的最大值为6，则，解得

综上，的取值范围为.

故选：A.

5．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求不含参数的二次不等式得到集合，求指数函数值域的得到集合，然后求两个集合的并集即可.

【详解】因为，

所以，

故选：D.