11.分离常数法求值域-2023-2024学年高一数学必修第一册函数重点题型汇总

11.分离常数法求值域

1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数．例如：，已知函数，则函数的值域为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由分式函数值域的求法得：,又,所以,由高斯函数定义的理解得：函数的值域为,得解．

【详解】因为，所以,

又，所以,

由高斯函数的定义可得：函数的值域为,

故选：C.

2．若函数对且都有，则称函数在区间上阶递增.已知函数在上2阶递增，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得对且都有成立，构造函数，可得函数在上单调递增，进而得到对于，恒成立，即得对于，恒成立，分离常数结合对勾函数的单调性即可求解.

【详解】由题意，对且都有成立，

不妨设，则，

设，则，

所以函数在上单调递增，

即对于，恒成立，

即对于，恒成立，

而，

令，则函数在上单调递增，

则，即，

所以，

所以，即，

所以实数的取值范围为.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数，转化为对于，恒成立，进而得到对于，恒成立，进而利用恒成立问题求解即可.

3．取整函数：不超过x的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分和两种情况讨论，当时，分离常数，再结合基本不等式先求出函数的值域，再根据的定义即可得解.

【详解】，

当时，，则，

当时，，

当时，，当且仅当，即时，取等号，

则，所以，

则此时函数的值域，

当时，，

当且仅当，即时，取等号，

则则，所以，

则此时函数的值域，

综上所述，函数的值域是,

故选：A.

4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.

【详解】当时，，

当时， ，

因为函数的值域为，

所以，得，

所以实数的取值范围是，

故选：D.

5．下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域和值域相同的函数有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【答案】B

【分析】分别求出四个函数的定义域和值域即可求解.

【详解】对于①：由一次函数的性质可知定义域为，值域为；定义域和值域相同，故①符合题意；

对于②：根据分段函数的性质可知：分段函数的定义域为，当时，的值域为，当时，的值域为，因此分段函数的值域为；定义域和值域相同，故②符合题意；