10.判别式法求值域-2023-2024学年高一数学必修第一册函数重点题型汇总

10.判别式法求值域

1．已知正实数满足则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值.

【详解】设，则，

因为，

所以，即：，

所以，

解得：，

又因为，为正实数，

所以，

所以的最大值为.

故选：C.

2．在长方体中，，，，则直线与平面内直线所成的角中最小角为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】B

【分析】设是平面内任一直线，是的一个方向向量.

当或与重合时，即等于线线角，在中，求出即可；当与不平行且不重合时. 设，，，则可以作为空间向量的一个基底.则，根据平面向量基本定理以及共线向量可得到的一个方向向量.设线线角为，则.令，用判别式法求出，即可得到，从而求出结果.

【详解】如图，连接.

设是平面内任一直线，是的一个方向向量.

①当或与重合时，即等于直线和所成的角.

又，，，

则在中，；

②当与不平行且不重合时.

设，，，则可以作为空间向量的一个基底，

且，，，两两垂直，

则，且.

根据平面向量基本定理，可知，，显然，

则与向量共线，

所以也是的一个方向向量.

设，则.

设直线和所成的角为，则.

，，，所以，

则.

令，整理可得，

该方程有解，即，

解得，即，即，

所以.

因为，在上单调递减，

所以当时，取最小值为.

又，即.

综上所述，直线与平面内直线所成的角中最小角为.

故选：B.

3．在平面直角坐标系中，已知，是双曲线上一点，则直线和直线的斜率之积的最大值为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，由斜率公式可表示出，令，利用判别式法可求得的范围，进而得到最大值.

【详解】设，则直线OP斜率，直线AP斜率，

，

令，则，即方程有解；

当时，，解得：，符合题意；

当时，，解得：或；

综上所述：，则直线和直线的斜率之积的最大值为.

故选：A.

4．已知直线与圆（为整数）相切，当圆的圆心到直线的距离最大时，（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】D

【分析】反复运用点到直线距离公式求出C到 的距离的解析式，再将解析式转化为二次函数，运用判别式即可求解.

【详解】由题意，圆C： ，半径 ，C点到直线l的距离 ，a为整数， ；

C到直线 的距离 ，考察 ，