9.单调性法求值域-2023-2024学年高一数学必修第一册函数重点题型汇总

9.单调性法求值域

1．函数，，用表示，中的较大者，记为，则下列说法正确的是（    ）

A． B．，

C．有最大值 D．最小值为0

【答案】BD

【分析】转化为分段函数求出的解析式，根据解析式结合二次函数及一次函数的单调性确定各选项即可得解

【详解】令，即，解得或，

所以可知，

所以，故A错误；

当时，，故B正确；

由（或）可知，函数无最大值，故C错误；

当或时，，当时，，

所以最小值为0，故D正确.

故选：BD

2．已知正实数，满足，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】BD

【分析】利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断A，根据和的等式关系即可判断B，利用多变量变单变量法即可判断C，构造关于的二次函数关系即可判断D.

【详解】对A，因为，则，

解得，则，

当且仅当时等号成立；故A错误；

对B，因为，则，当且仅当时取得最小值，故B正确；

对C，，即，当时显然不合题意，故，

则，则或（舍去），

则，

当且仅当，即，此时时等号成立，故C错误；

对D，，

令，由A知，则，

则当，，

此时，故D正确.

故选：BD.

3．曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线在点处的曲率，其中是的导函数．下面说法正确的是（    ）

A．若函数，则曲线在点与点处的弯曲程度相同

B．若是二次函数，则曲线的曲率在顶点处取得最小值

C．若函数，则函数的值域为

D．若函数，则曲线上任意一点的曲率的最大值为

【答案】ACD

【分析】根据曲率的定义求出曲率，由曲率函数为偶函数判断A，计算二次函数曲率，可知时有最大值判断B，求出函数的曲率函数，换元后求值域即可判断C，求出的曲率利用均值不等式求最大值判断D.

【详解】对于A，，，则，

又，所以为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；

对于B，设，，

则，当且仅当，

即时，曲率取得最大值，故B错误；

对于C，，

，令，则，

当时，；当时，单调递增且，单调递减

且，单调递增且，

根据复合函数的单调性知在时单调递减，

所以可知在时单调递增，

所以的最大值为，所以，即，故C正确；

对于D，，

，

当且仅当时，等号成立，故D正确．

故选：ACD．

4．已知函数，则“对，使得成立”的充分不必要条件可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】先求命题成立的充要条件，然后利用取值范围的真包含关系，得充分不必要条件.

【详解】由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，

所以时，，

函数在单调递增，所以时，

对，使得成立，则有，

即，得

对，使得成立的充要条件为，

各选项中，有





则“对，使得成立”的充分不必要条件可以是BCD选项.

故选：BCD