5.利用奇偶性求函数解析式-2023-2024学年高一数学必修第一册函数重点题型汇总

5.利用奇偶性求函数解析式 1．已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据奇函数的知识求得，进而求得. 【详解】由于是奇函数， 所以， 即， 解得，则. 故选：A 2．若是偶函数，且当时，，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数求的解析式，进而写出分段函数形式，即可求解集. 【详解】若，则，， 所以，故， 若，则或，可得. 故选：D 3．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由函数是奇函数，求出函数的解析式，再利用与的关系得到的单调性，利用函数单调性解不等式，求出实数的取值范围． 【详解】函数是上的奇函数，且当时，， 当时，则， 又，即，又， ， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 的图象如下所示：    函数在区间上单调递增， ，， 即，， ，． 故选：D． 4．若奇函数的定义域为，且时，，则时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则， 则， 因为函数为奇函数，所以， 即时. 故选：D 5．已知函数是奇函数，是偶函数，当时，，则下列选项不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最大值是1 D．当时恒有 【答案】B 【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，所以的图象关于点对称，的图象关于直线对称，进而得出周期为4.根据在上的解析式，结合函数的对称性可得出在上的解析式以及单调性，根据对称性即可得出A项；求出在上的值域，根据对称性即可得出C、D项. 【详解】因为函数是奇函数， 所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以，； 因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，. 所以，，所以周期为4. 对于A项，因为的图象关于点对称，的图象关于直线对称，所以也是的对称中心. 因为时，， ，则，所以. 根据函数的对称性可知，，所以. 所以当时，单调递减. 又的图象关于点对称，所以在区间上单调递减，故A项正确； 对于B项，因为的图象关于点对称，周期为4，所以的图象关于点对称，故B项错误； 对于C项，由A知，当时，，所以. 又的图象关于直线对称，所以当时，有. 综上所述，当时，有. 因为周期为4，所以的最大值是1，故C项正确； 对于D项，由已知当时，. 又的图象关于直线对称，所以当时，. 综上所述，当时，恒成立. 因为的图象关于点对称，所以，当时，恒有，故D项正确. 故选：B. 6．已知、分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义求出函数、的解析式，利用导数分析函数在上的单调性，并比较、、的大小关系，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为、分别为上的奇函数和偶函数，且， 则， 所以，，所以，， 当时，，令，其中， 则，函数在上单调递增， 则，因此函数在上为增函数， 因为， 所以，，， ， 因为， 所以，，所以，， 因为函数为上的偶函数，故. 故选：C. 7．已知分别为上的奇函数和偶函数，且，，，，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的奇偶性算出表达式，然后利用的单调性，奇偶性，结合对数函数的单调性，对数的运算性质进行大小比较. 【详解】，用代替，， 根据分别为上的奇函数和偶函数，于是， 结合可得. 故，设，则， 根据基本不等式和余弦函数的范围，，， 于是，则在上单调递增，注意到，于是时，递增. 由于是偶函数，根据对数的性质，，， 于是，，，故只需要比较的大小. 由，， 根据基本不等式，，故. 由于时，递增可知，，结合是偶函数可得， ，即. 故选：C 8．已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围. 【详解】由题设，若，则， 所以，值域为R，函数图象如下： 当时，只有一个与之对应； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有三个对应自变量且； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有一个与之对应； 令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解， 若有三个解，则，此时有7个解，不满足； 若有两个解且，此时和各有一个解， 结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m； 若有一个解，则有两个解，此时， 所以对应的， 综上，. 故选：C. 9．对任意的函