4.构造方程组法求解析式-2023-2024学年高一数学必修第一册函数重点题型汇总

4.构造方程组法求解析式 1．已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由绝对值的意义分析可得函数和的根为和，然后按的符号分4种情况讨论，求出的解析式即可. 【详解】由可知函数的分段点为和， 而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和， 假设的根为，的根为， 分4种情况讨论： （1）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （2）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （3）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （4）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， 综上可得 故选：B 2．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用方程组法求出、的解析式，再判断的单调性，则问题转化为恒成立，参变分离求出，即可得解. 【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，， 因为，① 所以， 所以，② ①②得，， 因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，又， 若恒成立，则恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以只需， 因为，，所以（当且仅当，即时取等号）， 所以（当且仅当时，取等号）， 所以， 所以的取值范围为. 故选：B． 3．已知定义在上的奇函数和偶函数满足，则下列说法错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．无最小值 D．无最小值 【答案】D 【分析】结合奇偶性定义可构造方程组求得，由指数函数单调性、复合函数单调性的判断方法可知AB正误；由奇偶性可确定单调性，进而确定CD正误. 【详解】由题意得：， 由得：，； 对于A，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，A正确； 对于B，设，则当时，； 在上单调递增，在上单调递增， 在上单调递增，在上单调递增，B正确； 对于C，由A知：在上单调递增，又为定义在上的奇函数， 在上单调递增，又为连续函数，在上单调递增， 无最小值，C错误； 对于D，由B知：在上单调递增，又为定义在上的偶函数， 在上单调递减，又为连续函数，，D错误. 故选：D. 4．已知函数满足，若，，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组法求得，不等式用参数分离法转化为，引入新函数，利用导数求得函数的最小值，从而得参数范围． 【详解】①， 又②， ①×2－②得， ∴．又，即，所以， 令，， 令（），则， 所以即在单调递增，，则在递增． ，∴． 故选：C． 5．已知和分别是定义在上的偶函数和奇函数，若，则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用奇偶性，列出方程组算得，令，用基本不等式求最小值. 【详解】由和分别是定义在上的偶函数和奇函数， 则，， 故，① ，② ①+②得，故， 令，则，则， 当且仅当，即时取等， 故的最小值为1， 故选：B. 6．若定义在上的函数满足：当时，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解方程组的方法求出函数解析式，根据周期即可求得结果. 【详解】当时，， 则， 令，则，， 用换，得， 联立解得， 所以，，， ，是以为周期的函数. . 故选：C 7．已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶函数构造方程组求出的解析式，再根据题意得到在单调递增，分类讨论即可求解. 【详解】由题可得， 因为是奇函数，是偶函数， 所以， 联立解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上，， 故选：B. 8．若函数的定义域为，且，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】首先根据方程组法求解函数解析式，然后针对，与三种情况分别讨论函数值的取值范围，即可求出函数的最大值. 【详解】由①，得②， ①得③， ②-③得， 因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，（当且仅当时，等号成立）． 综上所述，的最大值为. 故选：B 9．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．是减函数 【答案】BC 【分析】根据函数的奇偶性构造方程求出函数解析式，据此判断AB，再由均值不等式及单调性判断CD. 【详解】由， 得，两式相加得， 则， 所以，，A错误，B正确． 因为，所以（当且仅当时，等号成立）， 因为均是上的增函数，是上的增函数