2.换元法求解析式-2023-2024学年高一数学必修第一册函数重点题型汇总

2.换元法求解析式 1．已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求函数解析式. 【详解】令则 则, 所以. 故选：A 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法令，运算求解即可. 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 故选：B. 3．设，则等于（    ） A． B．   C． D．   【答案】C 【分析】整体代入即可求解. 【详解】∵，∴ ， 故选：C． 4．已知函数与，若存在使得，则不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合函数的定义可以判断A选项，其余可将选项全部代入后，看是否能求解出来进行判断. 【详解】对于A选项，若，当时，，当时，， 相当于1个值对应两个，不符合函数定义，即A错误； 对于B选项，，令，则，当且仅当时成立，整理得 ，解得，即，即， 存在，所以选项B正确； 对于C选项，，令，得，则，即， 存在，所以选项C正确； 对于D选项，，可得出，存在所以选项D正确； 故选：A 5．设是定义域为R的单调函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元，利用函数的单调性及函数值即可求出函数解析式，然后求函数值. 【详解】令，则， 因为是定义域为R的单调函数， 所以t为常数，即， 所以，解得， 所以， 故. 故选：B 6．已知定义在上的函数单调递增，且对任意恒有，则函数的零点为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】设,可得，根据单调性可得，从而可求，令可求零点. 【详解】设，则， 方程等价为， 令，则， 满足方程， ∵函数单调递增， ∴值唯一，∴， 由得，解得， 故函数的零点为. 故选:B. 7．已知，则函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求函数解析式即可. 【详解】令由于，则， 所以，，得； 所以，函数的解析式为； 故选：B. 8．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体代换求函数的解析式. 【详解】令，则， 所以，所以， 故选:D. 9．若函数，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求出的解析式，然后可得答案. 【详解】因为，所以令，则， 所以，所以， 因为，所以， 故选：B. 10．下列命题正确的有（    ）个 ①若，则的最小值为； ②函数，则 ③若，则； ④函数在定义域内是减函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对①构造基本不定式形式即可求出最小值，对②利用换元法即可求出解析式，对③利用作差法，即可判断大小，对④根据反比例函数图像即可判断. 【详解】对①，.时,,则 ，当且仅当，即（负舍）时等号成立，故错误， 对②，，令,则, 故,故,故正确, 对③，，则，，，则，故正确， 对④，根据反比例函数图像，可知在和的各自范围内是减函数，故错误， 综上，有两个是正确的， 故选：B. 11．下列说法正确的是（    ） A．存在函数，使得 B．存在唯一的函数，使得 C．存在无数个函数，使得 D．不存在函数，使得，且 【答案】AC 【分析】利用换元法整理函数解析式，结合对数运算、三角函数的运算以及函数定义和导数法求值域，可得答案. 【详解】对于A，令， 由函数与单调递增函数， 则函数也是单调递增函数， 且，，则. 即对任意的实数都有唯一的正实数与之对应，从而有唯一的与之对应， 因此可视为的函数，且定义域为，对应关系唯一确定，故A正确； 对于B，注意到，设，则，令， ，且在时，，单调递减， 当时，，单调递增，则， 则的值域为，所以当时，， 但时的情形并没有限制，可以任意定义， 因此符合题意的函数有无数个(定义域不同的函数当然不能视为同一函数).故B错误； 对于C，形如的函数均符合题意，其中是小于等于1的任意常数.故C正确. 对于D，函数符合题意时的情形可任意定义)，故D错误. 故选：AC. 12．已知函数图象上的点都满足，则下列说法中正确的有（    ） A． B．若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则直线的斜率为. C．若函数在处取极小值，则. D．存在四个顶点都在函数的图象上的正方形，且这样的正方形有两个. 【答案】ACD 【分析】由已知条件化同构，构造函数后求出的解析式，可判断选项A，分类讨论函数的极值情况，可判断选项C，由过原点的直线和的对称性，可判断选项B，选项D. 【详解】由得，， 注意到两个高次项的底数与恰好满足， 故有， 令，， 则等价于， 即 ∵，为奇函数， ∴， 又∵，∴在上单调递增， ∴由得，即， 由题意，即函数图象上的点都满足， ∴，故选项A正确； 对于B，∵，， ∴， ∴为奇函数，其图象关