第三章 勾股定理（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（苏科版）

第三章 勾股定理（知识归纳+题型突破） 1、 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2、 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3、 会用勾股定理进行简单的计算，能应用勾股定理解决实际问题。 4、 树立数形结合、分类讨论的思想。 1．勾股定理 直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a²+b²=c² 。 两直角边的平方和等于斜边的平方 2. 勾股定理的证明 方法一：，， 化简之后就可以得到结论 方法二： 四个直角三角形＋小正方形面积和　 大正方形面积为所以 方法三：，，化简得证 3.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数， 即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等 ③用含字母的代数式表示组勾股数： 　（为正整数）； 　（为正整数） （，为正整数） 4、 勾股定理常见图形 常见图形： 5、 勾股定理逆定理 如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 题型一 勾股数（树）问题 【例1】下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．6，7，8 D．1，， 【例2】下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．8，24，25 B．8，15，17 C．10，20，26 D．14，36，39 【例3】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、5、7，则最大正方形E的面积是（  ）    A．14 B．108 C．58 D．72 巩固训练 1．下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．1，， B．4，5，6 C．1，2， D．8，15，17 2．下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A． B． C． D． 3．下列各数是勾股数的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为 ． 5．下列各组数据是勾股数的有（    ） ①5，12，13  ②0.3，0.4，0.5  ③4，7，5   ④1，2， A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 题型二 折叠问题 【例4】如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，，则的长为（    ）    A．4 B．3 C．5 D．2 【例5】如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的E点，那么的面积为（    ）cm2．    A．9 B．6 C．4 D．3 【例6】如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求：      (1)线段的长； (2)线段的长． 巩固训练 6．如图，中，，，，将沿折叠，使落在斜边上且与重合，则 ．    7．如图，正方形的边长为3，为边上一点，．将正方形沿折叠，使点恰好与点重合，连接、、，则四边形的面积为 8．如图，矩形ABCD中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为 ．    9．如图，在长方形中，，，在边上取一点E，将折叠，使点A落在上，记为点F，求的长．    题型三 弦图为背景的计算 【例7】如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为，小正方形面积为，若用，表示直角三角形的两直角边（），表示斜边，则下列说法中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【例8】如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例9】我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的两直角边长分别为，那么的值是（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 10．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．    11．如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形．直角三角形的两直角边分别为a、b，若