第05讲 最短路径-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第05讲 最短路径 课程标准 学习目标 ①最短路径的基本原理 ②最短路径的基本模型 1. 掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短，点到直线的距离最短。 2. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平分线的性质解决相应题目。 知识点01 最短路径的基本原理 1. 最短路径的基本原理： ①两点之间，线段 。如图， 号线最短 ②点到直线的距离 。如图， 最短。 ③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。如图，MN是垂直平分线，CA= 。 知识点02 最短路径的基本类型1——直线上一点到同侧两点的距离之和最短 1. 如图，存在直线l以及直线外的点P和点Q，直线l上存在一点M，使得MP＋MQ的值最小： 方法点拨：作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的点M。 解：如图，作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于点M，则此时MP＋MQ最小。 证明：∵P与P’关于直线l对称 ∴直线l是PP’的 ∴MP MP’ ∴MP＋MQ＝ ＋MQ＝ 。 ∴MP＋MQ此时有最小值，为 的长度 题型考点：①基本作图。②求值计算。 【即学即练1】 1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【即学即练2】 2．如图，在等边△ABC中，BC边上的高AD＝6，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，在点E运动的过程中，EB+EF存在最小值，则这个最小值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 知识点03 最短路径基本类型——角内一点与角两边构成的三角形周长最短 1. 如图，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周长最小： 方法点拨：分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A与B即为要找到的点。 解：如图，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的分别交于点A与点B，连接PA、PB以及AB，此时△PAB的周长最小。 证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称 ∴OM是PP’的 ，ON是PP’’的 。 ∴AP AP’，BP BP’’ ∴＝ ＋AB＋ ＝ ∴△PAB的周长最小。 题型考点：①基本作图。②求值计算。 【即学即练1】 3．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使△PAB周长最小的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 4．如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α＝（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 知识点04 最短路径基本类型——角内两点与角两边构成的四边形周长最短 1. 如图：已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN的周长最小： 方法点拨：分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边OA与OB相交与点M与点N，此时点M与点N即为要找的点。 解：如图，作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。此时四边形PQMN的周长最下。 证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称 ∴OA是QD的 ，OB是PC的 。 ∴MD MQ，NP NC。 ＝PQ＋ ＋MN＋ ＝PQ＋ 。 ∴四边形PQMN的周长最小。 题型考点：①基本作图。 【即学即练1】 5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作图，不需写作法，保留作图痕迹） 知识点05 最短路径基本类型——造桥选址问题 1. 如图：平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村庄Q的路程最短： 方法点拨：在其中一