第04讲 等边三角形-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第04讲 等边三角形 课程标准 学习目标 ①等边三角形的概念与性质 ②等边三角形的判定 ③含30°角的直角三角形 1. 掌握等边三角形的性质并能够对其熟练应用。 2. 掌握等边三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。 3. 掌握含30°角的直角三角形的性质并对其熟练应用。 知识点01 等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形的概念： 三条边都 的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的 。 2. 等边三角形的性质：如图 ①等边三角形的三条边都 ，三个角也 ，且三个角都等于 °。 ②等边三角形三条边都存在 。 ③等边三角形是一个 图形，它有 条对称轴，对称轴的交点叫做中心。 题型考点：①等边三角形的性质求角度与线段。 【即学即练1】 1．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠1＝40°，则∠2的度数为（　　） A．80° B．70° C．60° D．50° 【即学即练2】 2．如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　） A．45° B．55° C．60° D．75° 【即学即练3】 3．如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为　 　． 【即学即练4】 4．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　 　． 知识点02 含30°角的直角三角形 1. 30°角所对的直角边与斜边的关系： 30°角所对的直角边等于斜边的 。证明如下： 如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC。证明BD＝ ∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝ 。 ∵AD⊥BC ∴AD平分∠BAC，∠BAD＝∠CAD＝ BD＝CD＝ BC ∴BD＝ AB。 题型考点：含30°角的直角三角形的性质。 【即学即练1】 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练2】 6．若等腰三角形的一腰长为a，底角为15°，则这个等腰三角形腰上的高为（　　） A．2a B．a C．a D．与a无关 【即学即练3】 7．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD的长为 　2　． 知识点03 等边三角形的判定 1. 等边三角形的判定： ①定义判定：三条边都 的三角形是等边三角形。 ②判定定理1：三个角 的三角形是等边三角形。或有两个角是 的三角形是等边三角形。 ③判定定理2：有一个角是 的等腰三角形是等边三角形。 题型考点：等边三角形判定证明。 【即学即练1】 8．下列三角形： ①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形． 其中是等边三角形的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【即学即练2】 9．已知，如图，∠B＝∠C，AB∥DE，EC＝ED，求证：△DEC为等边三角形． 【即学即练3】 10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，CE⊥AB于点D，且DE＝DC．求证：△CEB为等边三角形． 【即学即练4】 11．在△ABC中，已知AB＝AC，BE是角平分线． （1）若BE＝AE，求证：∠ABC＝2∠A； （2）若BE⊥AC，求证：△ABC为等边三角形． 题型01 等边三角形的性质计算长度 【典例1】 如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE的长度为3cm，则点D到BC的距离为 　　cm． 【典例2】 如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移3个单位得到△A′B′C′，则B′C的长度为 　　． 【典例3】 如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝1.5，则AB的长为（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．7.5 【典例4】 如图，等边三角形ABC是一块边长为20m的草坪，点P是草坪内的任意一点，过点P有三条小路PD，PE，PF，且满足PE∥AB，PF∥BC，PD∥AC，则三条小路的总长度为（　　） A．