核心训练3 函数的概念与性质（含知识笔记）-【考点题型全过关】2023-2024学年高一数学期中期末综合复习专题提优训练（人教A版2019必修第一册）

核心训练3 函数的概念与性质 目录 考点一：函数的概念及其表示 1 考点二：函数的基本性质 5 考点三：幂函数 10 考点四：函数的应用（一） 14 考点一：函数的概念及其表示 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 2.理解函数的概念应关注三点 (1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． (3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数． 3.区间 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 4.同一个函数 （1）前提条件：定义域相同；对应关系相同． （2）结论：这两个函数为同一个函数． 5.常见函数的值域 （1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R. （2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R， 当a>0时，值域为，当a<0时，值域为. 6.函数的表示法 （1）解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； （3）图像法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系。 （4）函数三种表示法的优缺点比较 7.分段函数 （1）一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． （2）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集． （3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 8.函数定义域的求解方法 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0. (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 9.求函数值域的常用方法： (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到． (2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法． (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域． (4)换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域． 10.函数解析式的求解 (1)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可． (2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可． (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可． (4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解． 一、单选题 1．（2022秋·江苏徐州·高一统考期中）已知，，下列对应法则不可以作为从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·云南红河·高一弥勒市一中月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2020秋·陕西渭南·高一月考）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·江西南昌·高一校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2022秋·安徽安庆·高一安庆市第七中学校考期中）设函数为一次函数，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022秋·湖南