第7章 教考衔接8 新情境下的古典概型问题-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

概率与统计是高考的一大板块，一般以“一小一大”或“两小一大”的命题形式出现．古典概型是小题命题角度的一个方面，而近几年的高考创新改革题型中，推出了一些题意新颖，构思巧妙、且具有明确导向的创新题型，使高考数学试卷充满活力． 　(古典文化方面)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　) A．　　　　　　　　　 B． C． D． [解析]　在所有重卦中随机取一重卦，其样本点总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的样本点数为(通过画树状图可得到)20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝＝.故选A. [答案]　A [触类旁通] 1．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法．在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4，1与8，其和分别为5，9，共2种；第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3，2与7，6与3，6与7，其和分别为5，9，9，13，共4种；故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2＋4＝6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为＝.故选A. 答案　A 　(科研成果方面)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(　　) A． B． C． D． [解析]　不超过30的的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有×10×9＝45种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P＝＝，故选C. [答案]　C [触类旁通] 2．孪生素数猜想是数学家希尔伯特在1900年提出的23个问题中的第8个，存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数.2013年华人数学家张益唐发表的论文《素数间的有界距离》第一次证明了存在无穷多组间距小于定值的素数对，那么在不超过16的素数中任意取出不同的两个，则不能组成孪生素数的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　不超过16的素数有2，3，5，7，11，13，任取两个素数组成不同素数对有：(2，3)，(2，5)，(2，7)，(2，11)，(2，13)，(3，5)，(3，7)，(3，11)，(3，13)，(5，7)，(5，11)，(5，13)，(7，11)，(7，13)，(11，13)，共有15对，它们等可能，其中(3，5)，(5，7)，(11，13)是孪生素数，因此不能组成孪生素数的个数是12，不能组成孪生素数的概率为p＝＝.故选C. 答案　C 　甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． [解析]　甲队以4∶1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输． 若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6； 若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6. ∴甲队以4∶1获胜的概率P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18. [答案]　0.18 [触类旁通] 3．(2022·合肥模拟)“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设齐王有上、中、下三等的三匹马A，B，C，田忌有上、中、下三等的三匹马a，b，c，所有比赛的方式有：Aa，Bb，Cc；Aa，Bc，Cb；Ab，Ba，Cc；A b，Bc，Ca；Ac，Ba，Cb；Ac，Bb，Ca，一共6种．其中田忌能获胜的方式只有Ac，Ba，Cb