第7章 概率 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

一、互斥事件与对立事件 互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．若A1，A2，…，An互斥，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).对立事件概率由公式可得P(A)＝1－P()(这里是A的对立事件). 　某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1张奖券的中奖概率； (3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解析]　(1)P(A)＝，P(B)＝＝， P(C)＝＝. 故事件A，B，C的概率分别为，，. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖． 设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝. 故1张奖券的中奖概率为. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件， ∴P(N)＝1－P(A∪B) ＝1－＝. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为. 二、古典概型题点多探 多维探究 古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键是正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m. 角度1　古典概型概率的计算 　将一枚均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数中至少有一个奇数的概率； (2)以第一次向上的点数为x，第二次向上的点数为y，求x2＋y2≥15的概率． [解析]　由题意，先后抛掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，为古典概型． (1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为. ∵事件包含的基本事件数m＝3×3＝9. ∴P()＝＝，则P(B)＝1－P()＝， 因此，两数中至少有一个奇数的概率为. (2)x2＋y2＜15记为事件C， 则表示“x2＋y2≥15”． 又事件C包含基本事件：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共8种． ∴P(C)＝＝， 从而P()＝1－P(C)＝1－＝. ∴x2＋y2≥15的概率为. 角度2　古典概型与统计的综合应用 　有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层随机抽样方法从各组中抽取若干名大众评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表． 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的大众评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的大众评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率． [解析]　(1)由题设知，分层随机抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表： 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为 由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝. 三、频率与概率 对于概率的定义应注意以下几点 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验． (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件A的概率． (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值． (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小． (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1. 　某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁4种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”