第7章 4 事件的独立性-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§4　事件的独立性 学业标准 素养目标 1．理解两个随机事件独立的含义和相互独立事件的性质．(难点) 2．理解两个相互独立事件同时发生的概率公式，会利用独立性计算概率． 1．通过学习事件的独立性的概念，培养数学抽象等核心素养． 2．通过计算相互独立事件的概率，培养逻辑推理、数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学　事件的独立性 　甲箱里装有3个白球、2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球．从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”． (1)事件A发生会影响事件B发生的概率吗？ (2)P(A)，P(B)，P(AB)的值为多少？ (3)P(AB)与P(A)，P(B)有什么关系？ [提示]　(1)不影响． (2)P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝＝. (3)P(AB)＝P(A)·P(B). ◎结论形成 1．相互独立事件的定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的__概率__没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件． 2．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)＝__P(A)P(B)__． 3．相互独立事件的性质：如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然相互独立．即当事件A，B相互独立时，即事件__A__与事件____相互独立，事件____与事件__B__相互独立，事件____与事件____相互独立． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B).(　　) (2)若事件A与B相互独立，则事件与事件B也相互独立．(　　) (3)若事件A与B相互独立，则P(A＋B)＝1－P()P().(　　) (4)事件A与B可以相互独立但不互斥．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　) A．　 　 B．　 　 C．　　 D． 解析　由题意可知甲乙同时中靶的概率为 ×＝. 答案　A 3．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　) A．0.504 B．0.994 C．0.496 D．0.064 解析　1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.006＝0.994. 答案　B 4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××＝. 答案　C 题型一　相互独立事件的判断 　一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下列两种情形，讨论A与B的独立性． (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩． [解析]　(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，A∩B＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝.由此可知P(A∩B)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立． (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，A∩B中含有3个基本事件．于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(A∩B)＝，显然有P(A∩B)＝＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的． ◆规律方法 两种方法判断两事件是否具有独立性 (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响． (2)公式法：检验P(A∩B)＝P(A)P(B)是否成立． [触类旁通] 1．(1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 (2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A．互斥但不相互