第7章 2.2 古典概型的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§2.2　古典概型的应用 学业标准 素养目标 1．了解古典概型在现实生活中的应用，能解决与古典概型有关的实际问题．(重点) 2．理解互斥事件的概率加法公式，会求较复杂事件的概率． 1．通过计算古典概型的概率，提升数学运算等核心素养． 2．通过古典概型的应用，培养数学建模等核心素养． [教材梳理] 导学　互斥事件的概率加法公式 　设事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，那么事件A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？ [提示]　不一定．当事件A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事件A与B不互斥时，P(A∪B)≠P(A)＋P(B). ◎结论形成 互斥事件的概率加法公式 (1)在一次试验中，如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A∪B)＝__P(A)＋P(B)__．特别地，P(A)＝__1－P()__． (2)如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么有P(A1∪A2∪…∪An)＝__P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)事件A与事件B互斥，则事件A与B互为对立事件．(　　) (2)设A，B为对立事件，则与一定也为对立事件．(　　) (3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.(　　) (4)对任意两事件A，B，都有P(A＋B)＝P(A)＋P(B).(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　) A．0.42　　 B．0.28　　 C．0.3　　 D．0.7 解析　∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C. 答案　C 3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为____________． 解析　由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国 队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＋＝. 答案　 4. 如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35，0.30，0.25，则不命中靶的概率是____________． 解析　“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90. 因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10. 答案　0.10 题型一　古典概型在游戏公平性中的应用 　甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间； (2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平？说明你的理由． [解析]　(1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12. (2)不公平．甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种，甲胜的概率为P1＝，乙胜的概率为P2＝，所以＜，所以此游戏不公平． ●素养聚焦　在应用古典概型的概率解决实际问题时，提升数学建模等核心素养． ◆规律方法 游戏公平性的标准及判断方法 (1)游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说获胜的可能性或概率是否相同．若相同，则规则公平，否则就是不公平． (2)具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较． [触类旁通] 1．玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看演唱会，可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？ 解析　两枚硬币落地共有四种结果： 正，正；正，反；反，正；反，反． 由此可见，她们两人得到门票的概率都是，所以公平． 题型二　互斥事件、对立事件的概率一题多变 　一名射击运动员在一次射击中射中10环