第6章 教考衔接7 方差的应用-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

方差是高中数学中的重要概念，是用样本估计总体的数字特征，是每年必考的主要内容．通过离散程度参数——方差的计算，培养数学运算等核心素养，通过应用样本的数字特征估计总体的数字特征提升数据分析、数学运算等核心素养． 　(一组数据与方差)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体感染的标志是“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下： 甲地：总体平均数为3，中位数为4； 乙地：总体平均数为1，总体方差大于0； 丙地：中位数为2，众数为3； 丁地：总体平均数为2，总体方差为3. 则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是(　　) A.甲地　　　　　 B．乙地 C．丙地 D．丁地 [解析]　对于甲地，若连续10日的数据为0，0，0，0，4，4，4，4，4，10，则满足平均数为3，中位数为4，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A错误；对于乙地，若连续10日的数据为0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，则满足平均数为1，方差大于0，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，B错误；对于丙地，若连续10日的数据为0，0，1，1，2，2，3，3，3，10，则满足中位数为2，众数为3，但不符合没有发生大规模群体感染的标志，C错误；对于丁地，若总体平均数为2，假设有一天数据为8人，则方差s2>(8－2)2＝4.5>3，不可能总体方差为3，则不可能有一天数据超过7人，符合没有发生大规模群体感染的标志，D正确．故选D. [答案]　D [触类旁通] 1．一名射击运动员连续射击5次，所得环数的平均数为8，标准差为1.2，则这五次射击不可能出现的环数是(　　) A．5　　　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 解析　由标准差为1.2，得方差为1.44，故设5次射击的环数为x1，x2，x3，x4，x5， 则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝40，1.44＝(xi－8)2， 所以若出现5环，则＝1.8>1.44，故不可能出现5环； 若出现6环，7环，8环，均可以使得1.44＝(xi－8)2有解，故可以出现．故选A. 答案　A 　(拆线图与方差)某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表： 根据图表判断，以下结论正确的是(　　) A．8月每天最高气温的平均数低于35℃ B．8月每天最高气温的中位数高于40℃ C．8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差 D．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差 [解析]　由某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温的折线图知，对于A，8月1日至9日的每天最高气温的平均数大于35℃，25日至28日的每天最高气温的平均数大于35℃，29日至31日每天最高气温大于20℃小于25℃，与35℃相差总和小于45℃，而每天最高气温不低于40℃的有7天，大于37℃小于40℃的有8天，它们与35℃，相差总和超过45℃，因此8月每天最高气温的平均数不低于35℃，A不正确；对于B，8月每天最高气温不低于40℃的数据有7个，其它都低于40℃，把31个数据由小到大排列，中位数必小于40，因此8月每天最高气温的中位数低于40℃，B不正确；对于C，8月前半月每天最高气温的数据极差小，波动较小，后半月每天最高气温的极差大，数据波动很大，因此8月前半月每天最高气温的方差小于后半月最高气温的方差，C不正确；对于D，8月每天最高气温的数据极差大，每天最低气温的数据极差较小，每天最高气温的数据波动也比每天最低气温的数据波动大，因此8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差，D正确． [答案]　D [触类旁通] 2．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　) A．A>B，sA>sB B．A<B，sA>sB C．A>B，sA<sB D．A<B，sA<sB 解析　由图可知，A<10<B，又样本A波动程度大于样本B，所以sA>sB.选B. 答案　B 　(频率分布直方图与方差)某学校高一100名学生参加数学考试，成绩均在40分到100分之间，学生成绩的频率分布直方图如下图： (1)估计这100名学生分数的中位数与平均数；(精确到0.1) (2)某老师抽取了10名学生的分数：x1，x2，x3，……，x10，已知这10个分数的平均数＝90，标准差s＝6，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差． (参考公式：s＝) [解析]　(1)因为0.05＋0.15＋0.25＝0.45<0.5， 0．05＋0.15＋0.25＋0.35＝0.8>0.5，所以中位数为x满足70<x<80.