第6章 3 用样本估计总体的分布-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§3　用样本估计总体的分布 §3.1　从频数到频率 §3.2　频率分布直方图 学业标准 素养目标 1．理解用样本的频率分布估计总体分布的数学思想方法．(难点) 2．能通过频率分布表和频率分布直方图对数据做出总体估计．(重点) 1．通过对频率分布直方图画法的学习，培养数据分析等核心素养． 2．通过应用频率分布直方图估计总体，提升数据分析、直观想象等核心素养． [教材梳理] 导学1　频数和频率 　什么是频数与频率？二者有何联系？ [提示]　频数是每个对象出现的次数，频率是每个对象出现的次数与总次数的比值，二者满足以下关系：＝频率． ◎结论形成 1．频率的定义：频率表示频数与总体的比值，能更好地反映样本和总体的特征． 2．频率的意义：频率反映了相对总数而言的__相对强度__，其所携带的__总体信息__远超过频数．在实际问题中，如果总体质量比较小，频数也可以较客观地反映总体分布；当总体容量较大时，频率就更能客观地反映总体分布． 3．频率的作用：在统计中，经常要用样本数据的频率去估计__总体__中相应的频率，即对__总体分布__进行估计． 导学2　频率分布直方图 　我们抽样的初衷是什么？ [提示]　用样本去估计总体，为决策提供依据． 　通过抽样获得的原始数据有什么缺点？ [提示]　因为通过抽样获得的原始数据多而且杂乱，无法直接从中理解它们的含义，并提取信息，也不便于我们用它来传递信息． ◎结论形成 1．频率分布直方图：图中每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积＝__组距×__＝频率，我们这样的图叫作频率分布直方图．频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的__频率__的大小． 2．频率分布直方图的好处：首先，能够清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别；其次，当考虑数据落在若干个小组内的频率之和时，可以用相应矩形的面积之和来表示． 3．画频率分布直方图的步骤 (1)计算极差：一组数据中__最大值__和__最小值__的差． (2)确定组距与组数：当样本容量在100以内时，按照数据的多少，通常分成__5～12__组，在实际操作中，一般要求各组的组距__相等__． (3)分组：按__组距__将数据分组，分组时，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间． (4)列表：一般分四列：宽度分组、__频数__、__频率__、____．其中频数合计应是样本容量，频率合计是__1__． (5)画频率分布直方图：画图时，应以横轴表示分组，纵轴表示____，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积．即每个小长方形的面积＝组距×____＝__频率__． 4．频率分布折线图 在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加一个区间．从所加的左边区间的__中点__开始，用线段依次连接各个矩形的__顶端中点__，直至右边所加区间的__中点__，就可以得到一条折线，我们称之为频率折线图．有时也用它来估计总体的分布情况． 随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之__增多__，而每个区间的长度则会相应随之__减小__，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)频率分布直方图中的纵轴表示频率．(　　) (2)频率分布直方图中每个小长方形的面积等于相应组的频率．(　　) (3)从总体中抽取一个样本，用样本的分布估计总体的分布，样本容量越小估计越准确．(　　) (4)频率分布直方图中所有长方形面积之和小于1.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40，0.125，则n的值为(　　) A．640　　　　　　　 B．320 C．240 D．160 解析　依题意得＝0.125， ∴n＝＝320. 答案　B 3．某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上(含80分)为优秀．现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制成频率分布直方图如下图所示： 已知图中从左到右的第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数是____________，成绩优秀的频率是____________． 解析　设参赛的人数为n，第二小组的频率为0.4，依题意＝0.4，∴n＝100，优秀的频率＝0.10＋0.05＝0.15. 答案　100　0.15 题型一　频率分布直方图的绘制 　为了了解一大片经济林的生长情况，人们随机测量其中的100株树木的底部周长(单位：cm)，得到如下数据： 135 98 102 110 99 121 110 96 100 103 1