第4章 3.1,3.2 对数函数的概念～对数函数y＝log2x的图象和性质-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§3　对数函数

§3.1　对数函数的概念

§3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质

[教材梳理]

导学1　对数函数的概念

　我们已经知道y＝2x是指数函数，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函数？为什么？

[提示]　是．由对数的定义可知y＝log2x(x＞0)⇔x＝2y，结合指数的运算可知，在定义域{x|x＞0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函数，其定义域为(0，＋∞).

◎结论形成

1．对数函数：函数__y＝logax(a＞0，a≠1)__．称为以a为底的对数函数．其中a称为底数，__x__是自变量．

2．基本性质：(1)定义域为__(0，＋∞)__；

(2)图象过定点__(1，0)__．

3．常用对数函数与自然对数函数

称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝__lg_x__；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝__ln_x__．

4．互为反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax是互为__反__函数．

导学2　函数y＝log2x的图象与性质

　阅读教材§3.2中画出函数y＝log2x图象的两种方法，根据y＝log2x图象，探究其性质？

[提示]　定义域：(0，＋∞)，值域：R.在(0，＋∞)上是增函数．当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1时，y＜0.

◎结论形成

函数y＝log2x的图象与性质

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)y＝logx5是对数函数．(　　)

(2)y＝loga(2x)(a>0，且a≠1)是对数函数．(　　)

(3)函数y＝loga(x2－x＋1)(a>0，且a≠1)的定义域为R.(　　)

(4)y＝2x与y＝2log 4 x互为反函数．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．函数f(x)＝log2(x＋1)定义域为(　　)

A．(－∞，－1)　　　　 B．[－1，＋∞)

C．(－1，＋∞)    D．(1，＋∞)

答案　C

3．已知对数函数过点(2，4)，则f(x)的解析式为____________．

解析　设y＝logax，则4＝loga2，∴a4＝2，又a＞0且a≠1，∴a＝.

答案　

4．使log3(2－x)＞－1成立的实数x的集合是__________．

解析　log3(2－x)＞－1⇔log3(2－x)＞log3

⇔2－x＞，

即x＜.又2－x＞0，故x＜.

答案　

题型一　对数函数的概念

　(1)下列给出的函数：

①y＝log5 x＋1；②y＝loga x2(a＞0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；④y＝log3 x；⑤y＝logx (x＞0，且x≠1)；⑥y＝logx.

其中是对数函数的为(　　)

A.③④⑤　　　　　　 B．②④⑥

C．①③⑤⑥    D．③⑥

(2)对数函数的图象过点(16，2)，则对数函数的解析式为____________．

[解析]　(1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3 x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确．

(2)设对数函数的解析式为y＝loga x(a＞0，且a≠1)，

由已知可得loga 16＝2，即a2＝16，

解得a＝4，故函数解析式为y＝log4 x.

[答案]　(1)D　(2)y＝log4 x

◆规律方法

判断一个函数是否为对数函数的方法

[触类旁通]

1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝____________．

解析　由题意得a2－a＋1＝1，解得a＝0或1，

又a＋1＞0且a＋1≠1，所以a＝1.

答案　1

题型二　对数型函数的定义域

　(1)下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　)

A．y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)

B．y＝2ln x与y＝ln x2