第4章 2.2 换底公式-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§2.2　换底公式

[教材梳理]

导学　换底公式

　假设＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可得到什么结论？

[提示]　把3x＝5化为对数式为log35＝x，

又因为x＝，所以得出log35＝的结论．

　由问题1你能猜测出与哪个对数相等吗？如何证明这个结论？

[提示]　结论为＝logab.

证明　令＝x⇒logcb＝xlogca⇒logcb＝logcax⇒b＝ax⇒x＝logab⇒＝logab.

◎结论形成

1．对数换底公式

若a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1，则

logab＝____．

2．由换底公式推出的常用结论

(1)logab·logbc·logca＝__1__．

(2)loganbn＝__logab__．

(3)loganbm＝__logab__．

(4)logb＝__－logab__．

[基础自测]

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)log23·log32＝1.(　　)

(2)log48＝log23.(　　)

(3)log925＝log35.(　　)

(4)＝.(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

2．计算：(log29)·(log34)＝(　　)

A．　　　　　　　　 B．

C．2    D．4

解析　原式＝·＝4.故选D.

答案　D

3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)

A．    B．

C．ab    D．a＋b

解析　∵10a＝2，∴a＝lg 2.

∴log26＝＝，故选B.

答案　B

4．计算：log2·log3·log5＝____________．

解析　原式＝(－2log25)·(－3log32)·(－2log53)＝－12.

答案　－12

题型一　利用换底公式化简求值

　计算：

(1)log16 27·log81 32；

(2)(log3 2＋log9 2)(log4 3＋log8 3).

[解析]　(1)log16 27·log81 32

＝×＝×

＝×＝.

(2)(log3 2＋log9 2)(log4 3＋log8 3)

＝

＝log3 2×log2 3

＝××＝.

◆规律方法

(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如an为底的换为a为底．

(2)换底公式的派生公式：loga b＝loga c·logc b；loganbm＝loga b．

[触类旁通]

1．求下列各式的值：

(1)log3 ·log7 ·log5 ；

(2)log9 32·log64 27＋log9 2·log4.

解析　(1)原式＝··

＝··

＝··

＝(－2)×(－4)×(－2)＝－16.

(2)原式＝·＋·

＝·＋·＝＋＝.

题型二　用已知对数表示其他对数一题多变

　已知log18 9＝a，18b＝5，求log36 45(用a，b表示).

[解析]　解法一　因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b，

于是log3645＝＝

＝＝.