第3章 指数运算与指数函数 章末整合提升-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

一、指数幂的运算

1．分数指数幂

(1)a＝(a＞0，m，n∈N＋，m，n互素，且n＞1)；

(2)a＝＝(a＞0，m，n∈N＋，m，n互素，且n＞1)；

(3)0的正实数指数幂等于0，0的零指数幂和负实数指数幂都没有意义．

2．指数幂的运算性质

3．指数幂运算应遵循的原则

(1)注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．

(2)若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．

　(1)(多选)若3a·9b＝，则下列结论不正确的是(　　)

A．a＋b＝－1　　　　 B．a＋b＝1

C．a＋2b＝－1    D．a＋2b＝1

(2)计算：(×)6＋()－4×－×80.25－(－2 020)0.

(1)[解析]　3a·9b＝3a·32b＝3a＋2b＝＝3－1，

则a＋2b＝－1.故选ABD.

[答案]　ABD

(2)[解析]　原式＝(2×3)6＋(2×2)－4×－2×2－1＝22×33＋2－7－2－1＝100.

二、指数函数的图象与性质题点多探　多维探究

1．指数函数y＝ax的图象恒过定点(0，1).

2．指数函数的图象与性质与底数a的取值有关，当a变化时，函数的图象与性质也随之改变．

3．指数函数与幂函数的区别与联系

4．指数幂大小比较常用方法与技巧

在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类：

(1)底数相同、指数相同：利用指数函数的单调性解决．

(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，在y轴右侧，从x轴开始由下往上观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取的值对应的函数值即可．

(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法).取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．如：要比较ac与bd的大小，可取ad为中间量，ac与ad利用指数函数y＝ax的单调性比较大小，bd与ad利用函数的图象比较大小．

角度1　有关指数幂的大小比较

　比较下列各式值的大小：

，2，，.

[解析]　(1)负数：；(2)大于1的数：，2；

(3)大于0且小于1的数：.

(2)中，＜2＜2，也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y＝，y＝2x的图象，再分别取x＝，x＝，比较对应函数值的大小，如上图，

故有＜＜＜2.

角度2　指数函数图象的应用

　函数f(x)＝ax－b的图象如下图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(　　)

A．a＞1，b＞0    B．a＞1，b＜0

C．0＜a＜1，b＞0    D．0＜a＜1，b＜0

[解析]　f(x)＝ax－b的图象是由y＝ax的图象平移得到的，由图象可知f(x)在R上是递减函数，所以0＜a＜1，由y＝ax过点(0，1)得知y＝ax的图象向左平移|b|个单位长度得f(x)的图象，所以b＜0.

[答案]　D

三、核心素养——直观想象(数形结合)

　若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是____________．

[解析]　当a＞1时，通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图(2)所示的图象，则由图可知1＜2a＜2，即＜a＜1.综上可知，＜a＜1.