第1章 4.1 一元二次函数-【精讲精练】2023-2024学年高中数学必修第一册北师大版（教师用书）

§4　一元二次函数与一元二次不等式 §4.1　一元二次函数 学业标准 素养目标 1．理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系．(难点) 2．掌握一元二次函数的简单性质．(重点) 1．通过一元二次函数的学习，培养直观想象等核心素养． 2．借助于求一元二次函数的最值，提升数学运算等核心素养． [教材梳理] 导学1　一元二次函数的图象变化 　由y＝x2的图象如何得到y＝2x2和y＝－x2的图象？ [提示]　把y＝x2图象上各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到y＝2x2的图象；把y＝x2图象上各点的纵坐标变为原来的相反数，即可得到y＝－x2的图象． 　函数y＝x2的图象与函数y＝(x－1)2的图象有怎样的关系？如何由y＝x2的图象得到y＝(x－1)2的图象？ [提示]　它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图象向右平移1个单位长度就可得到y＝(x－1)2的图象． ◎结论形成 一元二次函数的图象变换 1．一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2向__左__平移__h__个单位长度(h＞0)，再向__上__平移__k__个单位长度(k＞0)得到． 2．一元二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图象可由y＝ax2向__右__平移__|h|__个单位长度(h＜0)，再向__下__平移__|k|__个单位长度(k＜0)得到． 导学2　一元二次函数的性质 1．函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点坐标是__(h，k)__，对称轴是直线__x＝h__． 2．当a＞0时，抛物线开口__向上__；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而__减少__；在区间__[h，＋∞)__上，函数值y随自变量x的增大而增大；函数在__x＝h__处有最小值，记作ymin＝__k__． 3．当a＜0时，抛物线开口__向下__；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而__增大__；在区间__[h，＋∞)__上，函数值y随自变量x的增大而减少；函数在__x＝h__处有最大值，记作ymax＝__k__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝ax2＋bx＋c是一元二次函数．(　　) (2)函数y＝ax2－ax＋1(a≠0)的对称轴为x＝－.(　　) (3)函数y＝－x2＋x＋1的最小值为.(　　) (4)函数y＝(a2＋1)x2＋x的图象是抛物线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(多选)下列关于一元二次函数y＝x2＋x＋1的开口方向和顶点的说法，不正确的是(　　) A．开口向下，顶点(1，1) B．开口向上，顶点(1，1) C．开口向下，顶点 D．开口向上，顶点 解析　∵y＝x2＋x＋1＝＋， ∴抛物线开口向上，顶点为. 答案　ABC 3．函数y＝3＋2x－x2(0≤x≤3)的最小值为(　　) A．－1　　 B．0　　 C．3　　 D．4 解析　y＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4， ∵0≤x≤3， ∴当x＝3时，ymin＝3＋6－9＝0. 答案　B 4．抛物线y＝2x2－x－1的顶点坐标是____________． 解析　∵y＝2－，∴抛物线的顶点为. 答案　 题型一　一元二次函数图象的画法 　画出函数y＝2x2－4x－6的草图． [解析]　y＝2x2－4x－6 ＝2(x2－2x)－6 ＝2(x2－2x＋1－1)－6 ＝2[(x－1)2－1]－6 ＝2(x－1)2－8. 函数图象的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0). 画法步骤： (1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1，0)，(3，0)，画出直线x＝1； (2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1，0)，(3，0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如下图所示． ◆规律方法 画一元二次函数的图象重点体现图象的特征“三点一线一开口”： 1．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点； 2．“一线”是指对称轴这条直线； 3．“一开口”是指抛物线的开口方向． [触类旁通] 1．画出函数y＝x2－4x－12的图象． 解析　y＝x2－4x－12＝(x－2)2－16. 函数图象开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－16). 令y＝0，即x2－4x－12＝0得x＝－2或x＝6. 故图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，(6，0).图象如下图所示： 题型二　一元二次函数图象的变换 　在同一坐标系中作